k1, k2 , , kn为不全为零的常数。
注：特征向量不是唯一的。
6.1.2 特征值与特征向量的求法
求特征值、特征向量的步骤：
(1) A E 0 即可求出特征值 ;
(2) Ax x A E x 0
把得到的特征值 代入上 式，
求齐次线性方程组(A E)x 0的一个基础 解系1,2, ,t
§ 6.1 特征值与特征向量
6.1.1 特征值与特征向量的基本概念 6.1.2 特征值与特征向量的求法 6.1.3 特征值与特征向量的性质
6.1.1 特征值与特征向量的概念
定义6.1 设A是n阶方阵,如果数和n维非零列向量x
使关系式
Ax x 成立, 那么这样的数称为方阵A的特征值,非零向量 x称为A的对应于特征值的特征向量。
6.1.3 特征值和特征向量的性质
性质1 若A的特征值是，x是A的对应于的特征向量，则
(1) kA的特征值是k(k是任意实数)。 (2) Am的特征值是 m (m是正整数)。 (3) 若A可逆，则A1的特征值是 1,
A的特征值是 1 A 。
且x仍然是矩阵kA, Am , A1, A
分别对应于k, m , 1, 1 A 的特征向量。
的特征向量,即有
Ax 1x, Ax 2 x 1 x 2 x
1 2 x 0,
由于1 2 0, 则x 0, 与定义矛盾 .
(6) 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量。
如果1,2 , ,s都是A的属于特征值0的特征向量，
那么任何非零线性组合
k11 k22 kss ( 0) 也是属于特征值0的特征向量，其中k1, k2 ,
称以为未知数的一元n次方程 A E 0
为A的特征方程。
记f A E ,它是的n次多项式,称其
为方阵A的特征多项式。
由此可知：n阶方阵有n个特征根（复数域）。
4. 如果1,2 , , s都是A的属于特征值0
的特征向量，那末任何非零线性组合
k11 k22 kn（s 0） 也是属于特征值0的特征向量，其中
1
0 2
所以A的特征值为1 2, 2 3 1.
当1 2时,解方程( A 2E )x 0.由
3 A 2E 4
1 1
0 0
~Leabharlann 1 00 10 0,
1 0 0 0 0 0
得基础解系
0 p1 0, 1
所以kp1(k 0)是对应于1 2的全部特征向量。
当 2 3 1时,解方程( A E)x 0.由
征向量.
2当A可逆时, 0,
由Ax x可得
A1Ax A1x A1x
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
的特征向量.
(4) f (A)为A的多项式，则f (A)的特征值是f ()。
(5) 一个特征向量不能属于不同的特征值。
因为,如果x同时是A的属于特征值1, 2 1 2
2 A E 4
1 2
0 0
~
1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
得基础解系
1 p2 2, 1
所以kp2 (k 0)是对应于2 3 1的全部特征向量。
例3
设
2 A 0
1 2
1 0
,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
解
2
A E 0
4
1
2
1
1 0
3
8 6 2 (4 )(2 )
所以A的特征值为1 2, 2 4.
当1 2时,对应的特征向量应满足
3 2 1 x1 0, 1 3 2 x2 0
即
x1 x2 0,
x1
x2
0.
解得 x1
x2,
所以对应的特征向量可取为 p1
1 . 1
当2 4时,由
34
说明 1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的.
2. n阶方阵A的特征值, 就是使齐次线性方程组
A E x 0 有非零解的 值 , 即满足方程
A E 0的都是矩阵A的特征值.
3. A E 0
a11 a12
a21
a22
a1n
a2n
0
an1
an2 ann
kp1 (k 0).
当2 3 2时,解方程A 2E x 0.由
4 A 2E 0
1 0
1 0
~
4 0
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
0 p2 1 , 1
1 p3 0, 4
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 :
k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
例４ 证明：若 是矩阵A的特征值，x是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值m是任意常数.
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
证明 1 Ax x AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x
故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
( 1) 22 ,
令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
当1 1时,解方程A E x 0.由
1 A E 0
1 3
1 0
~
1 0
0 1
1 0 ,
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
1
1 34
x x
1 2
0 0
，即
1 1
1
1
x x
1 2
0 0
,
解得 x1 x2 ,所以对应的特征向量可取为
p2
1 1
.
例2
求矩阵A
1 4
1 3
00 的特征值和特征向量.
1 0 2
解 A的特征多项式为
1 1 A E 4 3
0
0 (2 )(1 )2 ,
不全为零的常数。
,
k
是
s
注：特征向量不唯一。
(7) 方阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关。
设1, 2, , m是方阵A的m个特征值， 如果1, 2, , m各不相同，
可得A的属于特征值的全部特征向量 k11 k22 ktt
其中k1, k2 , , kt为不全为零的常数。
注 n次多项式的求根问题一般并不容易， 在实际问题中常常应用近似计算公式来求 特征值。
例1 求A 3 1的特征值和特征向量. 1 3
解 A的特征多项式为
3 1 (3 )2 1 1 3