在一个周期内，极大值和极小值数目有限；
在一个周期内，绝对可积，即
t0T x(t) dt 。
t0
傅里叶级数的三角函数展开式

x(t ) a 0 (an cos n1t bn sin n1t ) n 1
式中：a0

1
T
T /2 T / 2
x(t )dt
分解成一系列谐波分量， 即x（t）都是一系列谐波 分量的和或积分
频率越高的谐波分量对信号构成的影 响越小。
• 确定信号频率范围的经验方法：
1）复杂周期信号时，频率范围为：0~n/T ，其中n=7~10，T为周期；
非周期信号的傅立叶变换：

X(ω) x(t )e jω tdt

x(t ) 1 X(ω)e jω tdω 2π
x(t ) FT X(ω)
IFT
X(w)为复数，是频谱
X(t）为复变函数，是频
谱密度
方波谱 周期方波谱
第五节 被测信号频率范围的确定
周期信号 非周期信号
例：周期方波的时域描述和频域描述
时域描述
周期方波波形图
周期方波时域表达式
傅立叶级数展开
其中 n0 n 1,3,5,
频域描述
幅频谱 相频谱
时域图形、幅频谱和相频谱三者的关系
时域描述 ： 频域描述：
20 15
10 5
正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的 投影。所以频域的基本单元也可以理解为 一个始终在旋转的圆。
信号波形：被测信号的幅度随时间的变化的历 程称为信号波形。
齿轮啮合振动
电容传声器
信号波形
为深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究 是非常必要的，从不同角度观察信号，可分为： 1 从信号描述上分
--确定性信号与非确定性信号；
2 从信号的幅值和能量上 --能量信号与功率信号；
3 从连续性 --连续时间信号与离散时间信号；
若周期函数为实函数，波形满足某些对称性质， 则表示比较简单，见例1-2
周期信号的对称性与傅里叶系数的关系:
1）波形一横轴为中心线时，直流分量为零，即a0=0 2）波形对称纵轴或偶函数时，bn=0 3）波形相对于纵坐标反对称或奇偶数时，an=0
周期信号频谱的特点如下：
周期信号的频谱是离散谱（离散性）； 每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基
(e)每隔5分钟测定开水房锅 炉水的温度变化（离散信号）
平均气温(o C)
28o C
28.4o C 27.6o C
28.3o C

0 6月1日 6月2日 6月3日6月4日 t /日
(d)某地每日的平均气温变化 （离散信号）
位移(um)
8 0 246

t / us
(f)每隔2微妙对正弦信号采样获 得的离散信号
简谐振动信号测试系统结构框图
研究信号的目的：认识客观物 理过程的内在觃律，研究各个 物理量之间的相互关系，预测 测量对象未来的发展趋势。
如心电图，就是利用仪器从人体上获得的心脏跳 动的数据，通常显示在仪器上供医生诊断之用， 或记录在纸上作为病人病例记录。
信号的分类
信号的分类主要是依据信号波形特征来划分 的，在介绍信号分类前，先建立信号波形的概念。
…
T0
A x(t)
T0
0 T0
T0
…
t
x(t ) x(t nT0 )


x
(t
)


A A
0 t T0 2 T0 2 t 0
2 -A 2
优点：形象、直观
缺点：丌能明显揭示信号的内在结构（频率组成及
各种频率成分的幅值大小和相位大小）
信号的频域描述：以频率f 为独立变量，反映信号
0
t
第二节. 信号的时域描述和频域描述 时域描述 ：
主要反映信号的幅值随时间变化的特征。
分析系统时，主要采用经典的微分或差分方程。
频域描述：
将信号的时间变量函数或序列变换成对应频率域 中的某个变量的函数，来研究信号的频域特性 。 反映信号的频率组成及其幅值、相角之大小。
频域分析法将时域分析法中的微分或差分方程 转换为代数方程，给问题的分析带来了方便。
波频率是诸分量频率的公约数（谐波性）。 工程上常见的周期信号，其谐波幅值随谐波
次数的增高而减小。因此，在频谱分析中没 有必要取次数过高的谐波分量。（收敛性）
第四节 非周期信号及其频谱
非周期信号包括准周期信号和瞬变信号。主要 是指瞬变信号。非周期信号可以认为是周期为无穷 大的周期信号。
周期信号是离散谱线，谱线间隔为2π/T ，当T 趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于零，因此非周期 信号的谱线是连续谱线。
1.连续信号不离散信号
信号
连续信号 离散信号
模拟信号(信号的幅值与独立变量 一般连续信号 (独立变量连续 ) 一般离散信号 (独立变量离散 ) 数字信号(信号的幅值和独立变量
均连续 ) 均离散 )
时间 连续
幅值
连续
离散
模拟信号
量化信号
离散
被采样信号 数字信号
V (t) V0

x(t ) A0 An cos(n1t n ) n 1
或

x(t ) A0 An sin(n1t n ) n 1
A0=a0
An
an2
bn2
ห้องสมุดไป่ตู้
,n

arctg
an bn
AnSin(n0t n ) 为n次谐波
频谱图的概念
工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以
频率结构和各频率成分的幅值、相位关系。
频域描述的理由： ① 频率f 是一个善于表征物质特性的特征参数； ② 波在物质中的传播特性同其频率密切相关； ③ 采用频域描述的表达式更为简洁； ④ Fourier变换是求解微分/偏微分方程强大的工具。
描述方法：以频谱（把各频率成分按频率大小进 行 的排列）进行描述，表示为频谱图，即以频率 为横坐标的幅值、相位变化图。分为 ① 幅值谱：幅值—频率图，简称为幅频图； ② 相位谱：相位—频率图 ，简称为相频图。
加速过程
减速
水温T (oC)
过程
100
50
0
t
0
t
(a)汽车速度连续信号
(b)开水房锅炉水温度的 变化连续信号
股市指数
3850
3860 3840
3855

0 3月5日 3月6日 3月7日 3月8日 t /日 (c)每日股市的指数变化 （离散信号）
水温T (o C)
100
15

0 5 10 15 20 t / min
② 周期三角波
x(t)
x(t)
A
A
0 T0 2T0 t
③ 周期锯齿波
0 T0/2 T0
t
④ 正弦波整流
复杂周期信号：
如：x(t)=Asin0.5 t+ Asin t +Asin2 t
x(t)
0
t
周期序列：
①周期单位正弦序列
②周期锯齿序列
③周期单位脉冲序列（梳状函数）
再如：
x(t ) A sin 9t A sin 31 t
如：周期方波可描述为
x(t)

n1
4A
n
sin
n 0 t

4A

n1
1 sin
n
n 0 t
（n=1,3,5,…)
可表示为：
A()
4A
An

4A
n
4A 3 4A
5
0 0 30 50
幅值谱
()
/2
n 0
0 0 30 50
相位谱
优点：频域描述揭示了信号内在的频率组成及其幅值 和相角的大小，描述更简练、深刻、方便。
2 确定性信号与非确定性信号
可以用明确数学关系式描述的信号称为确定 性信号。不能用数学关系式描述的信号称为非确 定性信号。
a) 周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号 x ( t ) = x ( t + nT )
简单周期信号
复杂周期信号
b) 非周期信号：在不会重复出现的信号。
准周期信号:由多个周期信号合成，但各信号频率不成 公倍数。如：x(t) = sin(t)+sin(√2.t)
周期 T0 2 /
k / m，圆频率 0

2
T0

k m
谐波信号就是我们常见的正余弦信号。余弦信号由 于仅是在相位上不正弦信号相差90°，因此常将正余 弦信号统一称为正弦信号戒正弦波。
除了谐波信号外，常见的周期信号有：
x(t)
A
0
T0/2 T0
t
x(t)
A T0
0
T0/2
t
① 周期方波
2、傅里叶级数的指数函数展开式
利用欧拉公式
e jn0t cos n 0t j sin n 0t
可推导出如下两式：
cos n1t

1 (e jn1t
2
e jn1t )
sin n1t

1 (e jn1t 2j
e ) jn1t
代入 x(t ) a0

常值分量/直流分量
an
2
T
T /2 T / 2
x(t )cos n1tdt
余弦分量的幅值
bn
2
T
T /2 T / 2
x(t )sin n1tdt
正弦分量的幅值