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小学数学《数列求和》练习题(含答案)

小学数学《数列求和》练习题(含答案)【例1】找找下面的数列有多少项?(1)2、4、6、8、……、86、98、100(2)3、4、5、6、……、76、77、78(3)4、7、10、13、……、40、43、46(4)2、6、10、14、18、……、82、86分析:(1)我们都知道:1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项,现在不妨这样去看:(1、2)、(3、4)、(5、6)、(7、8)、……、(95、96)、(97、98)、(99、100),让它们两两一结合,奇数在每一组的第1位,偶数在第2位,而且每组里偶数比奇数大,小朋友们一看就知道,共有100÷2=50组,每组把偶数找出来,那么原数列就有50项了。

(2)连续的自然数列,3、4、5、6、7、8、9、10……,对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、……,发现它的项数比对应数字小2,所以78是第76项,那么这个数列就有76项。

对于连续的自然数列,它们的项数是:末项—首项+ 1 。

(3)配组:(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、……、(46、47、48),注意等差是3 ,那么每组有3个数,我们数列中的数都在每组的第1位,所以46应在最后一组第1位,4到48有48-4+1=45项,每组3个数,所以共45÷3=15组,原数列有15组。

当然,我们还可以有其他的配组方法。

(4)22项.对于一个等差数列的求和,在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。

这种找项数的方法在学生学习了求项数公式后,也许稍显麻烦,但它的思路很重要,对于以后学习数论知识有较多的帮助。

希望教师能帮助孩子牢固掌握。

【例2】计算下列各题:(1)2+4+6+…+96+98+100(2)2+5+8+…+23+26+29分析:(1)这是一个公差为2的等差数列,首项是2,末项是100,项数为50。

所以:2+4+6+…+96+98+100=(2+100)×50÷2=2550(2)这是一个公差为3,首项为2,末项为29,项数是10的等差数列。

所以:2+5+8+…+23+26+29=(2+29)×10÷2=155其实在这里,我们还有一个找项数的公式。

那么让我们一起从等差数列的特性来找找吧!【例3】你能找出几个等差数列的特征?从你的结果中,你能找到等差数列求项数的公式么?分析:我们都知道,所谓等差数列就是:从第二项开始,每一项与它前一项的差都相等,那么我们可以得到:第2项=首项+公差= 首项+公差×1第3项=第2项+公差= (首项+公差)+公差=首项+公差×2第4项=第3项+公差= (首项+公差×2)+公差=首项+公差×3第5项=第4项+公差= (首项+公差×3)+公差=首项+公差×4第6项=第5项+公差= (首项+公差×4)+公差=首项+公差×5……第n项=首项+公差×(n-1)……末项=首项+公差×(项数—1)末项—首项=公差×(项数—1)项数=(末项—首项)÷公差+1通过上面的分析,我们还可以发现:第4项-第3项=公差×1第5项-第3项=公差×2第6项-第3项=公差×3第6项-第2项=公差×4第n项-第3项=公差×(n-3)第n项-第m项=公差×(n-m),(n>m)由此,我们便得到了,等差数列的求项数公式和其它一些公式关系,大家不要死记硬背,一定要理解运用。

【例4】利用上题得到的结论计算下面结果。

(1)3、5、7、9、11、13、15、……,这个数列有多少项?它的第102项是多少?(2)0、4、8、12、16、20、……,它的第43项是多少?(3)已知等差数列2、5、8、11、14 …,问47是其中第几项?(4)已知等差数列9、13、17、21、25、…,问93是其中第几项?分析:(1)它是一个无限数列,所以项数有无限多项。

第n项=首项+公差×(n-1),所以,第102项=3+2×(102-1)= 205 ;(2)第43项=0+4×(43-1)= 168 。

(3)首项=2 ,公差=3 ,我们可以这样看:2、5、8、11、14 …、47 ,那么这个数列有:n=(47-2)÷3+1=16 ,(熟练后,此步可省略),即47是第16项。

其实求项数公式,也就是求第几项的公式。

(4)n=(93-9)÷4+1=22 。

【例5】(1)如果一等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项.(2)如果一等差数列的第3项为16,第11项为72,求它的第6项.分析:要求第8项,必须知道首项和公差。

第6项-第4项=(6-4)×公差,所以,公差= 6 ;第4项=首项+3×公差,21=首项+3×6 ,所以,首项=3 ;第8项=首项+7×公差=45 。

(2)公差=7,首项=2,第6项=37。

【例6】(1)(第二届“迎春杯”刊赛)从401到1000的所有整数中,被8除余数为1的数有_____个?(2)(第五届迎春杯刊赛)1至100各数,所有不能被9整除的自然数的和是____?分析:在讲解此题之前,教师可先引入【附1】;因为被8除余数为1的整数组成公差是8的等差数列,最小的是401,最大的是993,于是项数=(993—401)÷8+1=75.(2)在1至100中,被9整除的数的和是:9+18+27+…+99=9×(1+2+3+…+11)=9×66=594;1至100各数之和是:1+2+3+…+100=5050;所以在1至100的各数中,所有不能被9整除的数的和是:5050—594=4456.【例7】计算各数列的和:(1)3+4+5+…+99+100(2)4+8+12+…+32+36(3)65+63+61+…+5+3+1分析:(1)项数:(100-3)÷1+1=98 ;和:(3+100)×98÷2=5047 ;(2)项数:(36-4)÷4+1=9 ;和:(4+36)×9÷2=20×9=1800 ;(3)项数:(65-1)÷2+1=33 ;和:(1+65)×33÷2=33×33=1089 。

题目做完以后,我们再来分析一下,(2)题中的等差数列有9项,中间一项即第5项的值是20,而和恰等于20×9,(3)题中的等差数列有33项,中间一项即第17项的值是33,而和恰等于33×33,其实,这并不是偶然的现象,关于中项有如下定理:对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首相与末项和的一半;或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数。

这个定理称为中项定理.【例8】建筑工地有一批砖,码成如右图形状,最上层两块砖,第2层6块砖,第3层10块砖…,依次每层都比其上面一层多4块砖,已知最下层2106块砖,问中间一层多少块砖?这堆砖共有多少块?分析:如果我们把每层砖的块数依次记下来,2,6,10,14,…容易知道,是一个等差数列。

2106是第n=(2106-2)÷4+1=527层,中间一层是第(527+1)÷2=264层,那么中间一层有:2+(264-1)×4=1054块,这堆砖共有:1054×527=555458(块)。

【例9】计算:(1)(1+3+5+……+1997+1999)一(2+4+6+……1996+1998)(2)4000-5-10-15-…-95-100分析:(1)法1:第一个数列的项数1000,第二个数列的项数为999,利用求和公式得:(1+1999)×1000÷2-(2+1998)×999÷2=1000 。

方法2:第一个括号内共有1000个数,第二个括号内有999个数。

把1除外,第一个括号内的各数依次比第二个括号里相应的数大1,因此可简捷求和。

原式=1+(3-2)+(5-4)+……+(1999-1998)=l+1+1+……+1 (共1000个1)=1000(2)分析:通过观察可知,题目中的减数可以组成等差数列,所以,可先求这些减数的和,再从被减数中减去这个和。

4000-5-10-15-…-95-100=4000-(5+10+15+…+95+100)=4000-(5+100)×(20÷2)=4000-1050=2950。

当一个数连续减去几个数,这些减数能组成等差数列时,可以先求这些减数的和,再从被减数中减去这个和。

【例10】把自然数按下面形式排列,它的第一行是1、2、4、7、11……那么第一行的第100个数是几? 1,2,4,7,1l,……3,5,8,12,……6,9,13,……10,14,……15,…………分析:观察上面数的排列规律,从右上方到左下方看斜行,依次是1,(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),……各斜行数的个数顺次是1,2,3,4,……所以第一行的第100个数,正好是第100个斜行的第一个数。

(1+2+3+……+98+99)+1 =(1+99)×99÷2+1=4951 。

【例11】(第十五届迎春杯初赛)下面方阵中所有数的和是多少?1901 1902 1903 1904 (1950)1902 1903 1904 1905 (1951)1903 1904 1905 1906 (1952)┇┇┇┇┇1948 1949 1950 1951 (1997)1949 1950 1951 1952 (1998)分析:每一行都是一个等差数列,且每行的和又构成公差为50的等差数列,总和是4776275 。

【附1】求100以内除以3余2的所有数的和。

分析:100以内除以3余2的数为2、5、8、11、……98公差为3的等差数列,首先求出一共有多少项,(98-2)÷3+1=33 ,再利用公式求和(2+98)×33÷2=1650 。

那么,你能找找以下数列的规律么?(1)除以3余1的所有数。

(2)整除3所有数。

(3)除以5余2的所有数。

(4)除以5余1的所有数。

(5)除以6余2的所有数。

说说其中的规律!【附2】100个连续自然数(按从小到大的顺序排列)的和是8450,取出其中第1个,第3个…第99个,再把剩下的50个数相加,得多少?分析:法1:要求和,我们可以先把这50个数算出来.100个连续自然数构成等差数列,且和为8450,则:首项+末项=8450×2÷100=169,又因为末项比首项大99,所以,首项=(169-99)÷2=35.因此,剩下的50个数为:36,38,40,42,44,46…134.这些数构成等差数列,和为(36+134)×50÷2=4250.法2:我们考虑这100个自然数分成的两个数列,这两个数列有相同的公差,相同的项数,且剩下的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大1,因此,剩下的数的总和比取走的数的总和大50,又因为它们相加的和为8450.所以,剩下的数的总和为(8450+50)÷2=4250.【附3】把210拆成7个自然数的和,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是5,那么,第1个数与第6个数分别是多少?分析:由题可知:由210拆成的7个数必构成等差数列,则中间一个数为210÷7=30,所以,这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15,第6个数是40.【附4】(第三届《小数报》数学竞赛初赛)计算99+198+297+396+495+594+693+792+891+990分析:99+198+297+396+495+594+693+792+891+990=100-1+200-2+300-3+…+1000-10=100+200+300+...+1000-(1+2+3+ (10)=5500-55=54451.求首项是13,公差是5的等差数列的前30项的和。

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