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高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考数学全真模拟试卷理科

高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考数学全真模拟试卷(理科)第1卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(5分)(•衡中模拟)已知集合A={x|x2<1},B={y|y=|x|},则A∩B=()A.∅B.(0,1)C.[0,1)D.[0,1]2.(5分)(•衡中模拟)设随机变量ξ~N(3,σ2),若P(ξ>4)=0.2,则P(3<ξ≤4)=()A.0.8 B.0.4 C.0.3 D.0.23.(5分)(•衡中模拟)已知复数z=(i为虚数单位),则3=()A.1 B.﹣1 C.D.4.(5分)(•衡中模拟)过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一个焦点F作两渐近线的垂线,垂足分别为P、Q,若∠PFQ=π,则双曲线的渐近线方程为()A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x5.(5分)(•衡中模拟)将半径为1的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面,设这三个圆锥底面半径依次为r1,r2,r3,那么r1+r2+r3的值为()A.B.2 C. D.16.(5分)(•衡中模拟)如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是()A.2 B.3 C.4 D.57.(5分)(•衡中模拟)等差数列{an}中,a3=7,a5=11,若bn=,则数列{bn}的前8项和为()A. B.C.D.8.(5分)(•衡中模拟)已知(x﹣3)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,则a8=()A.45 B.180 C.﹣180 D.7209.(5分)(•衡中模拟)如图为三棱锥S﹣ABC的三视图,其表面积为()A.16 B.8+6C.16D.16+610.(5分)(•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点F(﹣3,0),P为椭圆上一动点,椭圆内部点M(﹣1,3)满足PF+PM的最大值为17,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.11.(5分)(•衡中模拟)已知f(x)=,若函数y=f(x)﹣kx恒有一个零点,则k的取值范围为()A.k≤0 B.k≤0或k≥1 C.k≤0或k≥e D.k≤0或k≥12.(5分)(•衡中模拟)已知数列{an}的通项公式为an=﹣2n+p,数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣4,设cn=,若在数列{cn}中c6<cn(n∈N*,n≠6),则p的取值范围()A.(11,25) B.(12,22) C.(12,17) D.(14,20)第2卷二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.)13.(5分)(•衡中模拟)若平面向量、满足||=2||=2,|﹣|=,则在上的投影为.14.(5分)(•衡中模拟)若数列{an}满足a1=a2=1,an+2=,则数列{an}前2n项和S2n=.15.(5分)(•衡中模拟)若直线ax+(a﹣2)y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分,则的最大值为.16.(5分)(•衡中模拟)已知函数f(x)=(a+1)lnx+x2(a<﹣1)对任意的x1、x2>0,恒有|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,则a的取值范围为.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)(•衡中模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足c=1,且cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0(1)求C的大小;(2)求a2+b2的最大值,并求取得最大值时角A,B的值.18.(12分)(•衡中模拟)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M是棱PB中点.(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PCD;(Ⅱ)设点N是线段CD上一动点,且=λ,当直线MN与平面PAB所成的角最大时,求λ的值.19.(12分)(•衡中模拟)如图是两个独立的转盘(A)、(B),在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°.用这两个转盘进行游戏,规则是:同时转动两个转盘待指针停下(当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始),记转盘(A)指针所对的区域为x,转盘(B)指针所对的区域为y,x、y∈{1,2,3},设x+y的值为ξ.(Ⅰ)求x<2且y>1的概率;(Ⅱ)求随机变量ξ的分布列与数学期望.20.(12分)(•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0),倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点,且线段MN的中点为(﹣1,).过椭圆E内一点P(1,)的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D,且满足=λ,=λ,其中λ为实数.当直线AP平行于x轴时,对应的λ=.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)当λ变化时,kAB是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.21.(12分)(•衡中模拟)已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行.(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)﹣ax在(1,+∞)上是减函数,求实数a的最小值;(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)﹣无零点,求k的取值范围.[选修41:几何证明选讲]22.(10分)(•衡中模拟)如图所示,AC为⊙O的直径,D为的中点,E为BC的中点.(Ⅰ)求证:DE∥AB;(Ⅱ)求证:AC•BC=2AD•CD.[选修44:坐标系与参数方程]23.(•衡中模拟)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),在以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.[选修45:不等式选讲]24.(•衡中模拟)已知函数f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|.(I)解不等式f(x)≤6;(Ⅱ)若不等式f(x)≥ax﹣1对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(5分)(•衡中模拟)已知集合A={x|x2<1},B={y|y=|x|},则A∩B=()A.∅B.(0,1)C.[0,1)D.[0,1]【解答】解:A={x|x2<1}={x|﹣1<x<1},B={y|y=|x|≥0},则A∩B=[0,1),故选:C.2.(5分)(•衡中模拟)设随机变量ξ~N(3,σ2),若P(ξ>4)=0.2,则P(3<ξ≤4)=()A.0.8 B.0.4 C.0.3 D.0.2【解答】解:∵随机变量X服从正态分布N(3,σ2),∴μ=3,得对称轴是x=3.∵P(ξ>4)=0.2∴P(3<ξ≤4)=0.5﹣0.2=0.3.故选:C3.(5分)(•衡中模拟)已知复数z=(i为虚数单位),则3=()A.1 B.﹣1 C.D.【解答】解:复数z=,可得=﹣=cos+isin.则3=cos4π+isin4π=1.故选:A.4.(5分)(•衡中模拟)过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一个焦点F作两渐近线的垂线,垂足分别为P、Q,若∠PFQ=π,则双曲线的渐近线方程为()A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x【解答】解:如图若∠PFQ=π,则由对称性得∠QFO=,则∠QOx=,即OQ的斜率k==tan=,则双曲线渐近线的方程为y=±x,故选:B5.(5分)(•衡中模拟)将半径为1的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面,设这三个圆锥底面半径依次为r1,r2,r3,那么r1+r2+r3的值为()A.B.2 C. D.1【解答】解:∵2πr1=,∴r1=,同理,∴r1+r2+r3=1,故选:D.6.(5分)(•衡中模拟)如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是()A.2 B.3 C.4 D.5【解答】解:第一次循环,sin>sin0,即1>0成立,a=1,T=1,k=2,k<6成立,第二次循环,sinπ>sin,即0>1不成立,a=0,T=1,k=3,k<6成立,第三次循环,sin>sinπ,即﹣1>0不成立,a=0,T=1,k=4,k<6成立,第四次循环,sin2π>sin,即0>﹣1成立,a=1,T=1+1=2,k=5,k<6成立,第五次循环,sin>sin2π,即1>0成立,a=1,T=2+1=3,k=6,k<6不成立,输出T=3,7.(5分)(•衡中模拟)等差数列{an}中,a3=7,a5=11,若bn=,则数列{bn}的前8项和为()A. B.C.D.【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,a3=7,a5=11,∴,解得a1=3,d=2,∴an=3+2(n﹣1)=2n+1,∴,∴b8=(1﹣+﹣+…+﹣)=(1﹣)=故选B.8.(5分)(•衡中模拟)已知(x﹣3)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,则a8=()A.45 B.180 C.﹣180 D.720【解答】解:(x﹣3)10=[(x+1)﹣4]10,∴,故选:D.9.(5分)(•衡中模拟)如图为三棱锥S﹣ABC的三视图,其表面积为()A.16 B.8+6C.16D.16+6【解答】解:由三视图可知该三棱锥为边长为2,4,4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体.三棱锥的三条边长分别为,∴表面积为4×=16.10.(5分)(•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点F(﹣3,0),P为椭圆上一动点,椭圆内部点M(﹣1,3)满足PF+PM的最大值为17,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解答】解:设右焦点为Q,由F(﹣3,0),可得Q(3,0),由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a,即|PF|=2a﹣|PQ|,则|PM|+|PF|=2a+(|PM|﹣|PQ|)≤2a+|MQ|,当P,M,Q共线时,取得等号,即最大值2a+|MQ|,由|MQ|==5,可得2a+5=17,所以a=6,则e===,故选:A.11.(5分)(•衡中模拟)已知f(x)=,若函数y=f(x)﹣kx恒有一个零点,则k的取值范围为()A.k≤0 B.k≤0或k≥1 C.k≤0或k≥e D.k≤0或k≥【解答】解:由y=f(x)﹣kx=0得f(x)=kx,作出函数f(x)和y=kx的图象如图,由图象知当k≤0时,函数f(x)和y=kx恒有一个交点,当x≥0时,函数f(x)=ln(x+1)的导数f′(x)=,则f′(0)=1,当x<0时,函数f(x)=ex﹣1的导数f′(x)=ex,则f′(0)=e0=1,即当k=1时,y=x是函数f(x)的切线,则当0<k<1时,函数f(x)和y=kx有3个交点,不满足条件.当k≥1时,函数f(x)和y=kx有1个交点,满足条件.综上k的取值范围为k≤0或k≥1,故选:B.12.(5分)(•衡中模拟)已知数列{an}的通项公式为an=﹣2n+p,数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣4,设cn=,若在数列{cn}中c6<cn(n∈N*,n≠6),则p的取值范围()A.(11,25) B.(12,22) C.(12,17) D.(14,20)【解答】解:∵an﹣bn=﹣2n+p﹣2n﹣4,∴an﹣bn随着n变大而变小,又∵an=﹣2n+p随着n变大而变小,bn=2n﹣4随着n变大而变大,∴,(1)当(2)当,综上p∈(14,20),故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.)13.(5分)(•衡中模拟)若平面向量、满足||=2||=2,|﹣|=,则在上的投影为﹣1.【解答】解:根据条件,==7;∴;∴在上的投影为.故答案为:﹣1.14.(5分)(•衡中模拟)若数列{an}满足a1=a2=1,an+2=,则数列{an}前2n项和S2n=2n+n2﹣1.【解答】解:∵数列{an}满足a1=a2=1,an+2=,∴n=2k﹣1时,a2k+1﹣a2k﹣1=2,为等差数列;n=2k时,a2k+2=2a2k,为等比数列.∴.故答案为:2n+n2﹣1.15.(5分)(•衡中模拟)若直线ax+(a﹣2)y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分,则的最大值为2.【解答】解:由ax+(a﹣2)y+4﹣a=0得a(x+y﹣1)+4﹣2y=0,则得,即直线恒过C(﹣1,2),若将区域分成面积相等的两部分,则直线过AB的中点D,由得,即A(1,6),∵B(3,0),∴中点D(2,3),代入a(x+y﹣1)+4﹣2y=0,得4a﹣2=0,则,则的几何意义是区域内的点到点(﹣2,0)的斜率,由图象过AC的斜率最大,此时最大值为2.故答案为:2.16.(5分)(•衡中模拟)已知函数f(x)=(a+1)lnx+x2(a<﹣1)对任意的x1、x2>0,恒有|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,则a的取值范围为(﹣∞,﹣2].【解答】解:由f′(x)=+x,得f′(1)=3a+1,所以f(x)=(a+1)lnx+ax2,(a<﹣1)在(0,+∞)单调递减,不妨设0<x1<x2,则f(x1)﹣f(x2)≥4x2﹣4x1,即f(x1)+4x1≥f(x2)+4x2,令F(x)=f(x)+4x,F′(x)=f′(x)+4=+2ax+4,等价于F(x)在(0,+∞)上单调递减,故F'(x)≤0恒成立,即+2ax+4≤0,所以恒成立,得a≤﹣2.故答案为:(﹣∞,﹣2].三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)(•衡中模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足c=1,且cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0(1)求C的大小;(2)求a2+b2的最大值,并求取得最大值时角A,B的值.【解答】解:(1)cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0可得:cosBsinC﹣(a﹣sinB)cosC=0即:sinA﹣acosC=0.由正弦定理可知:,∴,c=1,∴asinC﹣acosC=0,sinC﹣cosC=0,可得sin(C﹣)=0,C是三角形内角,∴C=.(2)由余弦定理可知:c2=a2+b2﹣2abcosC,得1=a2+b2﹣ab又,∴,即:.当时,a2+b2取到最大值为2+.18.(12分)(•衡中模拟)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M是棱PB中点.(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PCD;(Ⅱ)设点N是线段CD上一动点,且=λ,当直线MN与平面PAB所成的角最大时,求λ的值.【解答】证明:(1)取PC的中点E,则连接DE,∵ME是△PBC的中位线,∴ME,又AD,∴ME AD,∴四边形AMED是平行四边形,∴AM∥DE.∵PA=AB,M是PB的中点,∴AM⊥PB,∵PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,∵AM⊂平面PAB,∴BC⊥AM,又PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,PB∩BC=B,∴AM⊥平面PBC,∵AM∥DE,∴DE⊥平面PBC,又DE⊂平面PCD,∴平面PBC⊥平面PCD.(2)以A为原点,以AD,AB,AP为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示:则A(0,0,0),B(0,2,0),M(0,1,1),P(0,0,2),C(2,2,0),D (1,0,0).∴=(1,2,0),=(0,1,1),=(1,0,0),∴=λ=(λ,2λ,0),=(λ+1,2λ,0),==(λ+1,2λ﹣1,﹣1).∵AD⊥平面PAB,∴为平面PAB的一个法向量,∴cos<>=====设MN与平面PAB所成的角为θ,则sinθ=.∴当即时,sinθ取得最大值,∴MN与平面PAB所成的角最大时.19.(12分)(•衡中模拟)如图是两个独立的转盘(A)、(B),在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°.用这两个转盘进行游戏,规则是:同时转动两个转盘待指针停下(当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始),记转盘(A)指针所对的区域为x,转盘(B)指针所对的区域为y,x、y∈{1,2,3},设x+y的值为ξ.(Ⅰ)求x<2且y>1的概率;(Ⅱ)求随机变量ξ的分布列与数学期望.【解答】解:(1)记转盘A指针指向1,2,3区域的事件为A1,A2,A3,同理转盘B指针指向1,2,3区域的事件为B1,B2,B3,∴P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,P=P(A1)P(1﹣P(B1))=×(1﹣)==.…(5分)(2)由已知得ξ的可能取值为2,3,4,5,6,P(ξ=2)=P(A1)P(B1)===,P(ξ=3)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)==,P(ξ=4)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)==,P(ξ=5)=P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)=+=,P(ξ=6)=P(A3)P(B3)==,∴ξ的分布列为:ξ 2 3 4 5 6PEξ==.…(12分)20.(12分)(•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0),倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点,且线段MN的中点为(﹣1,).过椭圆E内一点P(1,)的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D,且满足=λ,=λ,其中λ为实数.当直线AP平行于x轴时,对应的λ=.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)当λ变化时,kAB是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.【解答】解:(Ⅰ)设M(m1,n1)、N(m2,n2),则,两式相减,故a2=3b2…(2分)当直线AP平行于x轴时,设|AC|=2d,∵,,则,解得,故点A(或C)的坐标为.代入椭圆方程,得…4分a2=3,b2=1,所以方程为…(6分)(Ⅱ)设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)由于,可得A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),…①同理可得…②…(8分)由①②得:…③将点A、B的坐标代入椭圆方程得,两式相减得(x1+x2)(x1﹣x2)+3(y1+y2)(y1﹣y2)=0,于是3(y1+y2)kAB=﹣(x1+x2)…④同理可得:3(y3+y4)kCD=﹣(x3+x4),…(10分)于是3(y3+y4)kAB=﹣(x3+x4)(∵AB∥CD,∴kAB=kCD)所以3λ(y3+y4)kAB=﹣λ(x3+x4)…⑤由④⑤两式相加得到:3[y1+y2+λ(y3+y4)]kAB=﹣[(x1+x2)+λ(x3+x4)]把③代入上式得3(1+λ)kAB=﹣2(1+λ),解得:,当λ变化时,kAB为定值,.…(12分)21.(12分)(•衡中模拟)已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行.(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)﹣ax在(1,+∞)上是减函数,求实数a的最小值;(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)﹣无零点,求k的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由,得,解得m=2,故,则,函数g(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),而,又函数g(x)在(1,+∞)上是减函数,∴在(1,+∞)上恒成立,∴当x∈(1,+∞)时,的最大值.而,即右边的最大值为,∴,故实数a的最小值;(Ⅱ)由题可得,且定义域为(0,1)∪(1,+∞),要使函数F(x)无零点,即在(0,1)∪(1,+∞)内无解,亦即在(0,1)∪(1,+∞)内无解.构造函数,则,(1)当k≤0时,h'(x)<0在(0,1)∪(1,+∞)内恒成立,∴函数h(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内也单调递减.又h(1)=0,∴当x∈(0,1)时,h(x)>0,即函数h(x)在(0,1)内无零点,同理,当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,即函数h(x)在(1,+∞)内无零点,故k≤0满足条件;(2)当k>0时,.①若0<k<2,则函数h(x)在(0,1)内单调递减,在内也单调递减,在内单调递增.又h(1)=0,∴h(x)在(0,1)内无零点;又,而,故在内有一个零点,∴0<k<2不满足条件;②若k=2,则函数h(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.又h(1)=0,∴当x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h(x)>0恒成立,故无零点.∴k=2满足条件;③若k>2,则函数h(x)在内单调递减,在内单调递增,在(1,+∞)内也单调递增.又h(1)=0,∴在及(1,+∞)内均无零点.易知,又h(e﹣k)=k×(﹣k)﹣2+2ek=2ek﹣k2﹣2=ϕ(k),则ϕ'(k)=2(ek﹣k)>0,则ϕ(k)在k>2为增函数,∴ϕ(k)>ϕ(2)=2e2﹣6>0.故函数h(x)在内有一零点,k>2不满足.综上:k≤0或k=2.[选修41:几何证明选讲]22.(10分)(•衡中模拟)如图所示,AC为⊙O的直径,D为的中点,E为BC的中点.(Ⅰ)求证:DE∥AB;(Ⅱ)求证:AC•BC=2AD•CD.【解答】证明:(Ⅰ)连接BD,因为D为的中点,所以BD=DC.因为E为BC的中点,所以DE⊥BC.因为AC为圆的直径,所以∠ABC=90°,所以AB∥DE.…(5分)(Ⅱ)因为D为的中点,所以∠BAD=∠DAC,又∠BAD=∠DCB,则∠DAC=∠DCB.又因为AD⊥DC,DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD.所以=,AD•CD=AC•CE,2AD•CD=AC•2CE,因此2AD•CD=AC•BC.…(10分)[选修44:坐标系与参数方程][选修45:不等式选讲]24.(•衡中模拟)已知函数f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|.(I)解不等式f(x)≤6;(Ⅱ)若不等式f(x)≥ax﹣1对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.【解答】解:函数f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|=的图象如图所示,(I)不等式f(x)≤6,即①或②,或③.解①求得x∈∅,解②求得3<x≤5,解③求得﹣1≤x≤3.综上可得,原不等式的解集为[﹣1,5].(Ⅱ)若不等式f(x)≥ax﹣1对任意x∈R恒成立,则函数f(x)的图象不能在y=ax﹣1的图象的下方.如图所示:由于图中两题射线的斜率分别为﹣2,2,点B(3,2),∴3a﹣1≤2,且 a≥﹣2,求得﹣2≤a≤1.23.(•衡中模拟)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),在以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.【解答】解:(1)由曲线C的极坐标方程为ρ=得ρ2sin2θ=2ρcosθ.∴由曲线C的直角坐标方程是:y2=2x.由直线l的参数方程为(t为参数),得t=3+y代入x=1+t中消去t得:x﹣y﹣4=0,所以直线l的普通方程为:x﹣y﹣4=0…(5分)(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x,得t2﹣8t+7=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,所以|AB|===,因为原点到直线x﹣y﹣4=0的距离d=,所以△AOB的面积是|AB|d==12.…(10分)高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷(理科)(附详细答案)(10)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给处的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()A.30B.20C.15D.102.(5分)已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0},集合B为整数集,则A∩B=()A.{﹣1,0,1,2}B.{﹣2,﹣1,0,1}C.{0,1}D.{﹣1,0}3.(5分)为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把y=sin2x的图象上所有的点()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度4.(5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有()A.>B.<C.>D.<5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为()A.0B.1C.2D.36.(5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种7.(5分)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=()A.﹣2B.﹣1C.1D.28.(5分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点,设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是()A.[,1]B.[,1]C.[,]D.[,1]9.(5分)已知f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1).现有下列命题:①f(﹣x)=﹣f(x);②f()=2f(x)③|f(x)|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是()A.①②③B.②③C.①③D.①②10.(5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,•=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.D.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)复数=.12.(5分)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[﹣1,1)时,f(x)=,则f()=.13.(5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,≈1.73)14.(5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P(x,y).则|PA|•|PB|的最大值是.15.(5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B.④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>﹣2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)已知函数f(x)=sin(3x+).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f()=cos(α+)cos2α,求cosα﹣sinα的值.17.(12分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐:每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得﹣200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后,与最初分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18.(12分)三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示,设M,N分别为线段AD,AB的中点,P为线段BC上的点,且MN⊥NP.(1)证明:P是线段BC的中点;(2)求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.19.(12分)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).(1)若a1=﹣2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2﹣,求数列{}的前n项和Tn.20.(13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=﹣3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.①证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);②当最小时,求点T的坐标.21.(14分)已知函数f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷(理科)(附详细答案)(10)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给处的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()A.30B.20C.15D.10【分析】利用二项展开式的通项公式求出(1+x)6的第r+1项,令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.【解答】解:(1+x)6展开式中通项Tr+1=C6rxr,令r=2可得,T3=C62x2=15x2,∴(1+x)6展开式中x2项的系数为15,在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为:15.故选:C.【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础,计算准确是关键.2.(5分)已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0},集合B为整数集,则A∩B=()A.{﹣1,0,1,2}B.{﹣2,﹣1,0,1}C.{0,1}D.{﹣1,0}【分析】计算集合A中x的取值范围,再由交集的概念,计算可得.【解答】解:A={x|﹣1≤x≤2},B=Z,∴A∩B={﹣1,0,1,2}.故选:A.【点评】本题属于容易题,集合知识是高中部分的基础知识,也是基础工具,高考中涉及到对集合的基本考查题,一般都比较容易,且会在选择题的前几题,考生只要够细心,一般都能拿到分.3.(5分)为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把y=sin2x的图象上所有的点()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度【分析】根据 y=sin(2x+1)=sin2(x+),利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得【解答】解:∵y=sin(2x+1)=sin2(x+),∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,即可得到函数y=sin(2x+1)的图象,故选:A.【点评】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.4.(5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有()A.>B.<C.>D.<【分析】利用特例法,判断选项即可.【解答】解:不妨令a=3,b=1,c=﹣3,d=﹣1,则,,∴A、B不正确;,=﹣,∴C不正确,D正确.解法二:∵c<d<0,∴﹣c>﹣d>0,∵a>b>0,∴﹣ac>﹣bd,∴,∴.故选:D.【点评】本题考查不等式比较大小,特值法有效,导数计算正确.5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为A.0B.1C.2D.3【分析】算法的功能是求可行域内,目标函数S=2x+y的最大值,画出可行域,求得取得最大值的点的坐标,得出最大值.【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求可行域内,目标还是S=2x+y的最大值,画出可行域如图:当时,S=2x+y的值最大,且最大值为2.故选:C.【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6.(5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种【分析】分类讨论,最左端排甲;最左端只排乙,最右端不能排甲,根据加法原理可得结论.【解答】解:最左端排甲,共有=120种,最左端只排乙,最右端不能排甲,有=96种,根据加法原理可得,共有120+96=216种.故选:B.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题,考查学生的计算能力,属于基础题.7.(5分)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=()A.﹣2B.﹣1C.1D.2【分析】由已知求出向量的坐标,再根据与的夹角等于与的夹角,代入夹角公式,构造关于m的方程,解方程可得答案.【解答】解:∵向量=(1,2),=(4,2),∴=m+=(m+4,2m+2),又∵与的夹角等于与的夹角,∴=,∴=,∴=,解得m=2,故选:D.【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角,难度中档.8.(5分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点,设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是()A.[,1]B.[,1]C.[,]D.[,1]【分析】由题意可得:直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.【解答】解:由题意可得:直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.不妨取AB=2.在Rt△AOA1中,==.sin∠C1OA1=sin(π﹣2∠AOA1)=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=,=1.∴sinα的取值范围是.故选:B.【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法,考查了推理能力,属于中档题.9.(5分)已知f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1).现有下列命题:①f(﹣x)=﹣f(x);②f()=2f(x)③|f(x)|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是()A.①②③B.②③C.①③D.①②【分析】根据已知中函数的解析式,结合对数的运算性质,分别判断三个结论的真假,最后综合判断结果,可得答案.【解答】解:∵f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1),∴f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣f(x),即①正确;f()=ln(1+)﹣ln(1﹣)=ln()﹣ln()=ln ()=ln[()2]=2ln()=2[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=2f(x),故②正确;当x∈[0,1)时,|f(x)|≥2|x|⇔f(x)﹣2x≥0,令g(x)=f(x)﹣2x=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)﹣2x(x∈[0,1))∵g′(x)=+﹣2=≥0,∴g(x)在[0,1)单调递增,g(x)=f(x)﹣2x≥g (0)=0,又f(x)≥2x,又f(x)与y=2x为奇函数,所以|f(x)|≥2|x|成立,故③正确;故正确的命题有①②③,故选:A.【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了对数的运算性质,代入法求函数的解析式等知识点,难度中档.10.(5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,•=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.D.【分析】可先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利用韦达定理及•=2消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题.【解答】解:设直线AB的方程为:x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0),由⇒y2﹣ty﹣m=0,根据韦达定理有y1•y2=﹣m,∵•=2,∴x1•x2+y1•y2=2,结合及,得,∵点A,B位于x轴的两侧,∴y1•y2=﹣2,故m=2.不妨令点A在x轴上方,则y1>0,又,∴S△ABO+S△AFO═×2×(y1﹣y2)+×y1,=.当且仅当,即时,取“=”号,∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3,故选B.【点评】求解本题时,应考虑以下几个要点:1、联立直线与抛物线的方程,消x或y后建立一元二次方程,利用韦达定理与已知条件消元,这是处理此类问题的常见模式.2、求三角形面积时,为使面积的表达式简单,常根据图形的特征选择适当的底与高.3、利用基本不等式时,应注意“一正,二定,三相等”.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)复数= ﹣2i .【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数,可得结果.【解答】解:复数===﹣2i,故答案为:﹣2i.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题.12.(5分)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[﹣1,1)时,f(x)=,则f()= 1 .【分析】由函数的周期性f(x+2)=f(x),将求f()的值转化成求f()的值.【解答】解:∵f(x)是定义在R上的周期为2的函数,∴=1.故答案为:1.【点评】本题属于容易题,是考查函数周期性的简单考查,学生在计算时只要计算正确,往往都能把握住,在高考中,属于“送分题”.13.(5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于 60 m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,≈1.73)【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线,垂足为D,分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义,算出CD、BD的长,从而可得BC,即为河流在B、C两地的宽度.【解答】解:过A点作AD垂直于CB的延长线,垂足为D,则Rt△ACD中,∠C=30°,AD=46m,AB=,根据正弦定理,,得BC===60m.故答案为:60m.【点评】本题给出实际应用问题,求河流在B、C两地的宽度,着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识,属于中档题.14.(5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P(x,y).则|PA|•|PB|的最大值是 5 .【分析】先计算出两条动直线经过的定点,即A和B,注意到两条动直线相互垂直的特点,则有PA⊥PB;再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值.【解答】解:由题意可知,动直线x+my=0经过定点A(0,0),动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m(x﹣1)﹣y+3=0,经过点定点B(1,3),注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直,P又是两条直线的交点,则有PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.故|PA|•|PB|≤=5(当且仅当时取“=”)故答案为:5【点评】本题是直线和不等式的综合考查,特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口,从而有|PA|2+|PB|2是个定值,再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等式相结合,不容易想到,是个灵活的好题.15.(5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B.④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>﹣2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有①③④.(写出所有真命题的序号)【分析】根据题中的新定义,结合函数值域的概念,可判断出命题①②③是否正确,再利用导数研究命题④中函数的值域,可得到其真假情况,从而得到本题的结论.【解答】解:(1)对于命题①,若对任意的b∈R,都∃a∈D使得f(a)=b,则f(x)的值域必为R.反之,f(x)的值域为R,则对任意的b∈R,都∃a∈D使得f(a)=b,故①是真命题;(2)对于命题②,若函数f(x)∈B,即存在一个正数M,使得函数f(x)的值域包含于区间[﹣M,M].∴﹣M≤f(x)≤M.例如:函数f(x)满足﹣2<f(x)<5,则有﹣5≤f(x)≤5,此时,f (x)无最大值,无最小值,故②是假命题;(3)对于命题③,若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)值域为R,f(x)∈(﹣∞,+∞),并且存在一个正数M,使得﹣M≤g(x)≤M.故f (x)+g(x)∈(﹣∞,+∞).则f(x)+g(x)∉B,故③是真命题;(4)对于命题④,∵﹣≤≤,当a>0或a<0时,aln(x+2)∈(﹣∞,+∞),f(x)均无最大值,若要使f(x)有最大值,则a=0,此时f(x)=,f(x)∈B,故④是真命题.故答案为①③④.【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件,还考查了新定义概念的应用和极限思想.本题计算量较大,也有一定的思维难度,属于难题.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)已知函数f(x)=sin(3x+).(1)求f(x)的单调递增区间;。

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