已知 【例 2】{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公 式． (1)a3＝5，a7＝13； (2)前三项为：a,2a－1,3－a. (3)am＝n，an＝m，m≠n，求am＋n. [思路探索]欲写出等差数列的通项公式，只需确定它的首 项a1与公差d，代入an＝a1＋(n－1)d即得．
解
利用公式 an＝Sn－Sn－1(n≥2)可使数列 {an}的前 n 项和公式 Sn 与通项公式 an 之间相互转化．在使用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)时， 必须验证 n＝ 1 时是否也成立，否则通项公式只能用 an ＝
S1 n＝ 1， Sn－ Sn－1 n≥ 2
来表示．
(1)法一 设首项为 a1，公差为 d，则
a1＝ 1， 解得 d＝ 2.
a3＝ a1＋ 2d＝ 5， a7＝ a1＋ 6d＝ 13，
∴ an＝a1＋ (n－ 1)d＝1＋ (n－ 1)×2＝ 2n－1. ∴通项公式是 an＝2n－ 1. 法二 a7－ a3 13－5 ∵ d＝ ＝ ＝ 2， 7－ 3 7－ 3

由于函数
9 2 105 9 f(x) ＝－ 2 x－ ＋ 在 0， 上是增函数，在 4 8 4
9 ，＋∞ 上是减函数，故当 4
n＝ 2 时，f(n)＝－ 2n2＋ 9n＋ 3 取
得最大值 13，所以数列{－ 2n2＋ 9n＋ 3}的最大项为 a2＝ 13.
(2)当 n≤ 17， n∈ N＋时， n n－ 1 |a1|＋ |a2|＋…＋ |an|＝ a1＋ a2＋…＋ an＝ na1＋ d＝ 2 3 2 103 － n＋ n， 2 2 当 n≥ 18， n∈ N＋ 时 |a1 |＋ |a2 |＋…＋ |an |＝ a1 ＋ a2＋…＋ a17 － a18－ a19－…－ an＝ 3 2 103 2(a1＋ a2＋…＋ a17)－ (a1＋ a2＋…＋ an)＝ n － n＋ 884， 2 2 3 2 103 ∴当 n≤ 17， n∈ N＋时，{|an|}前 n 项和为－ n ＋ n， 2 2 3 2 103 当 n≥ 18， n∈ N＋ 时，{|an|}前 n 项和为 n － n＋ 884. 2 2
专题五
等比数列的概念和性质
新课标要求理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公 式，并能在具体问题情境中识别数列的等比关系，还要求我 们了解等比数列与指数函数的关系． (1)等比数列的性质是等比数列基本规律的深刻体现，是解决 1． 等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识去应用． (2)在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当 变形． (3)“巧用性质、减少运算量”在等比数列的计算中非常重要， 使用“基本量法”，并树立“目标意识”，“需要什么，就求什 么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标， 往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果．
∴am＋ n＝am＋ [(m＋ n)－m]· d＝ n＋ n· (－1)＝0.
规律方法
由等差数列的通项公式可证明： an－ am＝(n－
an－am m)d(n、m∈N＋，n≠m)或 d＝ ，当 m＝1 时，即为 an n－m ＝a1＋(n－1)d.
专题三
等差数列的性质
运用等差数列的性质解题时，要注意序号与项的对应关 系．在等差数列的学习过程中，最常见的错误是对等差数 列性质的误用．公式am＋an＝ap＋aq(其中p＋q＝m＋n， m、n、p、q∈N＋)表明，在等差数列中若每两项的序号和 相等，则其对应项的和也相等，否则不成立．例如：我们 有a2＋a4＝a1＋a5＝2a3，但不能得出a6＝a2＋a4.
高中数学课件
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章末归纳整合
专题一
数列的概念与函数特性
1．数列中的数是按一定“顺序”排列的，可以看成一个定义域 为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依 次取值时对应的一系列函数值．因此，数列的表示方法中 就有了类似于函数表示方法中的列表法、图像法、通项公 式法． 2．数列的分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数 列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数 列、摆动数列和常数列．
专题二
等差数列通项公式
1．等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，其中包含四 个元素：an，a1，n和d，很显然我们可以做到“知三求 一”． 2．在解题时，我们往往通过解方程(组)来确定a1和d，从 而就可以确定等差数列了，但是，有时这种解法运算 过程稍微复杂了一点，如果能够灵活使用另一个公式 an＝am＋(n－m)d可以简化运算．
3．数列是项关于序号的函数，是一种特殊的函数，其特殊性在 于数列的定义域是N＋(或其有限子集{1,2,3，…，n})，在我 们利用数列的通项公式求其最大项(或最小项)时，要特别注 意这一点，否则会产生错解．
求数列 {－2n2＋9n＋3}的最大项． 【例1 】
解 已知－ 2n
2
9 2 105 ＋ 9n＋ 3＝－ 2n－ ＋ . 4 8
规律方法 在证明时，要根据题目条件选择合适的方法， 从而为解题带来方便．
专题六
数列新题秀
数列作为高中数学的一个主干知识，是很多命题人关 注的一个焦点，因此其中的新题也层出不穷．为使同 学们认识和了解这些新题，我们特意安排了一场数列 新题秀(展示)．
1．概念创新型
an＋2－an＋1 【例6】 若在数列{an}中，对任意 n∈N＋，都有 ＝k(k an＋1－an 为常数)，则称{an}为“等差比数列”．下面对“等差比数列” 的判断：
1，公比为 2 的等比数列．
Sn＋ 1 Sn－ 1 (2)由 (1)知 ＝ 4· (n≥ 2)． n＋ 1 n－ 1 Sn － － － ＝ 2n 1，∴ Sn＝ n· 2n 1，∴ an＝ Sn－ Sn－ 1＝(n＋ 1)2n 2(n≥ 2)． n Sn－ 1 于是 Sn＋1＝ 4(n＋ 1)· ＝ 4an(n≥ 2)． n－ 1 又 a2＝ 3S1＝ 3，故 S2＝ a1＋ a2＝ 4＝ 4a1. 因此对于任意正整数 n，都有 Sn＋1＝ 4an.
①k不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”；③等比 数列一定是“等差比数列”；④通项公式为an＝a· bn＋ c(a≠0，b≠0，1)的数列一定是“等差比数列”． 其中正确的判断为( )． A．①②B．①④C．③④D．②③
[思路探索 ] 若 k＝ 0，则 an＋2－ an＋1＝ 0(n∈ N＋ )，用 n－ 1 代 an＋2－ an＋1 换 n，可得 an＋ 1－ an＝ 0，此时 ＝ k 无意义，故①中 an＋1－ an 判断正确；数列 a， a， …， a(a≠ 0)既是等差数列，又是等 an＋2－ an＋1 比数列，但不满足 ＝ k，故②③中判断不正确；当 an＋1－ an an ＝ a· b
规律方法 (1)由于数列是特殊函数，因此可以用研究函 数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大 值、最小值等；此时要注意数列的定义域为正整数集(或 其子集)这一条件．
an－1≤ an， (2)可以利用不等式组 an≥ an＋ 1， 找到数列的最大项；利
an－1≥ an， 用不等式组 找到数列的最小项． an≤ an＋ 1，
已知数列 {an}，{bn}均为等差数列，且{an}为2,5,8，…， 【例 3】 {bn}为1,5,9，…，它们的项数均为40，则它们有多少个彼 此具有相同数值的项？ 解 由已知两等差数列的前3项，容易求得它们的通项公 式分别为：an＝3n－1，bm＝4m－3(m、n∈N＋，且 1≤n≤40,1≤m≤40)．令an＝bm，得3n－1＝4m－3，
Sn 证明：(1)数列 是等比数列； (2)Sn＋1＝ 4an. n
证明
n＋2 (1)因为 an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝ S， n n
所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)． Sn＋ 1 2Sn 整理得 nSn＋1＝2(n＋1)Sn.所以 ＝ . n＋1 n
Sn 故 是首项为 n
2．等比数列的概念、性质、通项公式是高考的必考内容，特 别是与其他知识的交汇点，一直是考查的重要热点之一， 常见的考题有： (1)判断、证明数列是等比数列； (2)运用通项公式求数列中的项； (3)解决数列与函数、三角、向量、几何等知识交汇点问 题； (4)涉及递推关系的推理及运算问题．
n＋2 【例5】 数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋1＝ n Sn(n ＝ 1,2,3，… )．
在等差数列 {an}中，a10＝23，a25＝－22， 【例 4】 (1)数列{an}前多少项和最大？ (2)求{|an|}前n项和．
解
a1＋ 9d＝ 23 (1)由 a1＋ 24d＝－ 22 a1＝ 50， 得 d＝－ 3，
53 ∴ an＝ a1＋ (n－ 1)d＝－ 3n＋ 53，令 an>0，得： n< ， 3 ∴当 n≤ 17， n∈ N＋ 时， an>0； 当 n≥ 18， n∈ N＋时， an<0， ∴ {an}前 17 项和最大．
∴ an＝a3＋ (n－ 3)d＝5＋ (n－ 3)×2＝ 2n－1. ∴通项公式是 an＝2n－ 1.
(2)解
∵ a,2a－ 1,3－ a 是等差数列的前三项， 且 a2－ a1＝ a3
－ a2＝ d，∴ 2a－ 1－ a＝ 3－ a－(2a－ 1)， 5 1 解得 a＝ .∴ d＝ 2a－ 1－ a＝ a－ 1＝ . 4 4 5 1 1 ∴ an＝ a1＋ (n－ 1)d＝ ＋ (n－ 1)× ＝ n＋ 1. 4 4 4 1 ∴通项公式为 an＝ n＋ 1. 4 (3)法一 设等差数列{an}的首项为 a1， 公差为 d， 则依题意，
a1＝ m＋ n－ 1， 解得 d＝－ 1.
a1＋ m－ 1 d＝ n， 得 a1＋ n－ 1 d＝ m，
∴am＋ n＝a1＋(m＋n－1)d＝m＋n－1＋(m＋n－1)· (－1)＝0. 法二 am－an ∵am＝ an＋(m－ n)d，m≠n，∴d＝ ＝－ 1. m－n