xi δxi xi q1 δq1 ,q2 δq2 , ......,qk δqk
利用多元函数的台劳级数展开，并略去二阶以上的微量，
则有：
xi δxi
xq1 ,q2 ,.....,
qk
xi q1
δq1
xi δq2
......
xi δqk
δqk
xi
δxi
xq1 ,q2 ,.....,
约束与约束方程,自由度与广义坐标
1 约束
在静力学中，曾经将限制某物体运动的其它物体称为 约束，约束对被约束物体的作用表现为约束反力。
现在从运动学的观点来看约束的作用，给约束下一广义 的定义：
如一非自由质点系的位置和速度受到某些预定条件的 限制，这种限制条件称为约束。
y 例如，车轮限制在直线轨迹上作无滑动
由此可见，刚体平衡必要充分条件对一般的非自由质点系 统来说就不是充分的。因此，不能只依靠刚体平衡必要充分条 件去解决非自由质点系的平衡问题。
本章介绍虚位移原理，又称为分析静力学。 虚位移原理是非自由质点系平衡的一般规律，它给出了任 一非作自由质点系平衡的必要与充分条件，是解答平衡问题 的最一般的原理。 刚体在力的作用下不变形，在刚体静力学中仅从作用于刚 体上的力系的简化结果就可得出刚体的平衡条件。 由于非自由质点系中各质点间的相对位置可以改变，并且 相对位置的改变又因约束的存在而受到某些限制，问题较为复 杂。必须首先研究约束对质点运动的影响，以及质点系中各质 点所可能发生的位移等。
2 A
yA
2
xB xA
l12 2 yB
yA
2
l22
o
φ 1
L1 A(xA,yA )
L2
约束为完整约束，所以在
φ 2
确定双摆位置的 4个坐标
y
B(xB,yB)
xA,yA,xB,yB中只有 2 个是
独立的（如xA, yB），因此，双摆的自由度为：k=2n-2=2
事实上，该例中只要确定φ1、φ2，那么A.B的位置坐标
连杆机构，可简化 为由曲柄销 A和滑 块 B两个质点所组 成的质点系。轴承
y
A(xA,yA )
r
L
o
B(xB,yB ) x
，刚性杆 A和AB以
及滑道形成了对质
点系的约束，
其相应的约束方程为：
xA2
y
2 A
(xB xA)2
r2 ( yB
yA)2
l2
yB
0
(b) 运动约束的约束方程：
约束方程中含有质点系中质点的速度称为运动
如以下的运动方程中：
xc r 0, 积分可得：xc r C
(C为 积 分 常 数 ）
式中虽然有对时间t的微分项，但可以积分 为有限形式。
（3）约束按是否随时间变化而分： 定常约束——质点系所受对其运动的限制条件 不随时间变化的约束。 非定常约束——凡约束条件随时间变化的约束。
定常约束，即质点系所受对其运动的限制条件 不随时间变化的约束称为定常约束，定常约束的约 束方程中不含时间变量，如前面几个例子中的约束 均为定常约束 。
出其余S个未知的坐标，于是，便可完全确定质点系的位置。
自由度数：
确定具有完整约束的质点系位置所需的独立坐标数称为 该质点系的自由度数。以 k表示自由度数，则上述具有S个完 整约束并由n个质点组成的质点系的自由度数：
k＝3n－S , 具有k个自由度 （平面k＝2n－S ）
例如：双摆的约束方程为：
x
x
qk
xi q1
δq1
xi δq2
......
xi δqk
δqk
推得到解析法求虚位移的公式
δxi
xi q1
δq1
xi δq2
......
xi δqk
δqk
δyi
yi q1
δq1
yi δq2
......
yi δqk
δqk
δzi
zi q1
δq1
zi δq2
约束。例如：
沿直线轨道
y
只滚不滑的车轮
ω
约束的限制条件为： 限制轮缘上与地面相
接触点I的速度为0， o
c(xc,yc )
r vc
x
其约束方程为：
yc xc
r
r
0
其中xc为轮心C的速度，
为轮子的角速度，r为轮半径
（2）按约束方程是否可积分分类： 完整约束——可积分的运动约束和几何约束 非完整约束——不可积分的运动约束
曲柄上各点的虚位移与定轴转动刚体各点的速度一样求法，
为到转轴的距离×δφ。
同理，由于连杆AB的限制， A,B两点间的距离不能改变，
I
δφI
90o-ψ
故可以认为B点与δrA 相应 的虚位移δrB是由于连杆AB 绕瞬心I转过一虚转角δφI 而得到的，且：
r
I
A
AI
y δrA
δφ
A
o φr
φ ψ
δφ
I
90o-ψ C
φ 2 B(xB,yB)
y A
y A
1
1
y A
2
2
l1
sin 11
xB
xB
1
1
xB
2
2
l1
c os11
l2
c os 22
yB
yB
1
1
yB
2
2
l1
sin 11
l2
sin 22
即 求 得A, B两 质 点 用 坐 标 表 示 的 虚位 移 。
解析法求虚位移公式推导：
设质点系由n个质点组成，并且由S个完整约束，自由度
φ 1
y
两质点A,B沿x,y方向的虚位移可以求得：
x
A(xA ,yA ) l2
φ 2 B(xB,yB)
xA l1 sin1
yA xB
l1 l1
cos sin 1
l2
sin
2
yB l1 cos1 l2 cos2
xA
xA
1
1
xA
2
2
l1
c os11
o l1
φ 1
y
x
A(xA ,yA ) l2
(4)虚位移的求法：
①几何法： 非自由质点系在中各质点的相对应位置必须
满足相应的约束条件，因而在各点虚位移之间就 存在着一定的关系。
对于刚体或刚体系统而言，各点虚位移之间 的关系与该点运动时各点速度之间的关系相同。
如上述曲柄连杆机构：若给A点虚位移δrA，则曲柄的虚转角
为：
δφ＝ δrA ／r。
L
ψ
Bx
δrB
从而得到B点的虚位移δrB 为：
I
rB BI I
90 0- ψ δφ
I
δφ
BI AI
rA
y δrA
I
sin( cos
)
rA
δφ o
Aφ
ψ r φ
90 0- ψ C L
ψ
Bx
δrB
显然，A,B两点虚位移之间的关系与速度关系完全相同。
对于作平面运动的A,B杆上其余各点的虚位移可以同样求得。 （用速度瞬心法）
4 自个 定常完整约束的限制，则其约束方程为：
f x1, y1, z1; x2, y2, z2;......xn, yn, zn 0 1,,2,3......S
此即确定质点系位置的3n个坐标所应满足的S个关系式。 由此可见，如果在3n个坐标xi、yi、zi(i=1,2,…,n)中知道 了3n-S个彼此独立的坐标，并利用此S个约束方程，即可解
o
δrA
A
ω drA δrA
Bx
δrB
δrB
如果ω方向确定了，A点及B 点的实际位移方向就决定于 ω的转向。而虚位移则不论ω的方向如何，只要是约束允许的 即可随意假设。符号区别：
实 位 移 ：dr, ds, d, dx, dy, dz
虚 位 移 ：r,s, ,x,y,z
定常约束情况下，实位移是所有虚位移中的一个。对于 非定常约束，虚位移指某一个瞬时将时间固定，约束所能允 许的微小位移。而实位移是不能固定时间的。
几何约束的约束方程：
即质点或质点系中各质点的坐标在约束的限制
条件下所必须满足的条件。
例如图示小球借刚 杆而悬于 o，小球运动限 制在图示铅垂平面内绕点 作以杆长L为半径的圆周
运动。
o Lx m(x,y)
y
则其约束方程为确定M点位置的方程：
x 2 y 2 l 2 M点在任何位置都满足这一方程。
又如：图示曲柄
虚位移原理
静力学中研究了刚体和刚体系统的平衡问题。对于一般的 非自由质点（包括可变形的刚体系统）而言，其平衡条件比刚 体复杂。
例如，以无重刚体连接的两质点在等值，反向，共线的两 轴向拉力和压力的作用下均可平衡，但是若将刚杆换为柔绳， 则在轴向压力下，虽然力系也满足平衡条件，但此两质点所组 成的系统却不能平衡。
k个独立的参变量q1,q2,…,qk作为其广义坐标。
于是有：
xi xi q1, q2......qk yi yi q1, q2......qk zi zi q1, q2......qk 即 ：ri ri q1, q2......qk
——此即用广义坐标表示的n个质点位置的一般表达式， 其中隐含了约束条件。
对广义坐标求偏导数，偏导数之和表示其虚位移。
如前述的复摆，自由度为2(k=2n-2=2),约束方程为2，这
时，只要选择了两个广义坐标
φ1，φ2，A,B两质点的位置即
可完全确定。
xA l1 sin1
yA xB
l1 l1
cos sin 1