2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供理科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数的11Z i =-模为 （A ）12（B ）22 （C ）2 （D ）2（2）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=I ，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， （3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， （4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p （5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π（7）使得()3nx n N n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为A ．4B ．5C ．6D ．7（8）执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的A ．511 B ．1011 C ．3655 D ．7255（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=（10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．317 B ．210 C ．132D ．310 （11）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）16（11）设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， （A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值 （C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题-第22题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .（14）已知等比数列{}{}13n n n a S a n a a 是递增数列,是的前项和.若，是方程26540x x S -+==的两个根，则 .（15）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,6,cos ABF ,5AF BF AB AF C e ==∠=连接若则的离心率= .（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.设向量()()3sin ,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()(),.f x a b f x =g 求的最大值 18．（本小题满分12分）如图，.AB PA C 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点（I ）求证：PAC PBC ⊥平面平面；（II ）2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值19．（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答. （I ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（II ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.如图，抛物线()()2212002:4,:20.,C x y C x py p M x y C ==->点在抛物线上，1M C 过作()0,,.12A B M O A B O x =-的切线，切点为为原点时，重合于当时，1-.2MA 切线的斜率为（I ）P 求的值；（II ）2M C AB N 当在上运动时，求线段中点的轨迹方程(),,.A B O O 重合于时中点为21．（本小题满分12分）已知函数()()()[]321,12cos .0,12e xx f x x g x ax x x x -=+=+++∈当时，（I ）求证：()11-;1x f x x≤≤+ （II ）若()()f x g x ≥恒成立，a 求实数的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，.AB O CD O E AD CD D e e 为直径，直线与相切于垂直于于，BC 垂直于 ,.CD C EF F AE BE 于，垂直于，连接证明：（I ）;FEB CEB ∠=∠ （II ）2.EF AD BC =g23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 2 2.4πρθρθ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭. （I ）12C C 求与交点的极坐标；（II ）112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为 ()33,,.12x t at R a b b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数求的值 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数(), 1.f x x a a =->其中（I ）()=244;a f x x ≥=-当时，求不等式的解集（II ）()(){}{}222|12,x f x a f x x x +-≤≤≤已知关于的不等式的解集为.a 求的值2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（供理科考生使用）试题参考答案和评分参考评分说明：1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。

2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时。

如果后继部分的解答未该提的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有严重的错误，就不再给分。

3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4. 只给整数分数。

一．选择题(1)B (2)D (3)A (4)D (5)B (6)A (7)B (8)A (9)C (10)C (11)B (12)D 二．填空题（13）16-16π （14）63 （15）75（16）10 三．解答题(17).解：（I ）由,sin 4)(sin )sin 3(2222x x x a =+=,1)(sin )(cos 222=+=x x b及,b a =得.1sin 42=x又,2,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πx 从而,21sin =x 所以.6π=x 。

6分 （II ）x x x b a x f 2sin cos sin 3)(+⋅=⋅=→→,21)62sin(212cos 212sin 23+-=+-=πx x x 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=2,03ππx 时，)62sin(π-x 取最大值1. 所以)(x f 的最大值为.23。

12分（18）（I ）证明：由AB 是圆的直径，得,BC AB ⊥ 由⊥PA 平面ABC, ⊂BC 平面ABC, 得.BC PA ⊥又⊂=⋂PA A AC PA ,平面PAC, ⊂AC 平面PAC, 所以 ⊥BC 平面PAC, 因为⊂BC 平面PBC所以平面PBC ⊥平面PAC. 。

6分（II ）（解法一）过C 做CM//AP , 则CM ⊥平面ABC. 如图，以点C 为坐标原点，分别以直线 BC,CA,CM 为X 轴，Y 轴，Z 轴建立空间直角坐标系。

因为AB=2,AC=1,所以BC=3.因为PA=1,所以A(0,1,0), B(3,0,0), P(0,1,1). 故，).1,1,0(),0,0,3(==→→CP CB设平面BCP 的法向量为），，，（z y x n 1=则｛n 0n 11=⋅=⋅→→CP CB ,所以｛z y 0x 3=+=，不妨令y=1，则）。

，（1-1,0n 1=因为).0,1,3(),1,0,0(-==→→AB AP 设平面ABP 的法向量为），，，（z y x n 2=则｛,0n 0n 22=⋅=⋅→→AB AP 所以｛，，0y -x 30z ==不妨令x=1，则.031n 2），，（=于是 ，，46223n n cos 21==所以由题意可知二面角C-PB-A 的余弦值为.46 。

12分（解法二）过C 作CM ⊥AB 于M, 因为PA ⊥平面ABC,CM ⊂平面ABC, 所以PA ⊥CM. 故CM ⊥平面PAB.过M 作MN ⊥PB 于N,连接NC,由三垂线定理得CN ⊥PB, 所以CNM ∠为二面角C-PB-A 的平面角。