浅谈解析几何中的对称问题解析几何中的对称问题在现行中学教材中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。
对称问题主要涉及四种类型：点关于点成中心对称；线（直线或曲线）关于点成中心对称；点关于线成轴对称；线（直线或曲线）关于线成轴对称。
无论是解析几何的新授课还是复习课，几乎所有的老师都会对对称问题进行教学或复习，近几年对称问题也是高考的热点之一。
这就要求教师对对称问题进行适当的归纳、总结，使学生对这部分知识有一个较完整、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。
本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题类型及解决方法。
一、中心对称：即关于点的对称问题定义：把一个图形绕某个点旋转180o 后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这个点对称。
这个点叫做对称中心。
性质：关于某个点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。
1． 点关于点对称例1． 求P （3，2）关于M （2，1）的对称点P ’的坐标。
分析：由中心对称的性质得M 点是PP ’的中点，可求P ’（1，0） 。
小结：P （x 0,y 0）−−−−−−−→−的对称点，（关于点)b a M P ’（2a －x 0,2b －y 0）（依据中点坐标公式）。
特例P （x 0,y 0）−−−−−→−关于坐标原点对称P ’（－x 0, －y 0）。
2． 直线关于点对称例2． 求直线l 1:x ＋y －1=0关于M （3，0）的对称直线l 2的方程。
分析：思路一：在直线l 2上任取一点P （x ，y ），则它关于M 的对称点Q （6－x, －y ），因为Q 点在l 1上，把Q 点坐标代入直线l 1中，便得到l 2的方程：x ＋y －5=0。
思路二：在l 1上取一点P （1，0），求出P 关于M 点的对称点Q 的坐标（5，0）。
再由k l1=k l2，可求出直线l 2的方程x ＋y －5=0。
思路三：由k l1=k l2，可设l 1：Ax ＋By ＋C=0关于点M （x 0,y 0）的对称直线为Ax ＋By ＋C ’=0且2200B A CBy Ax +++=22'00B A C By Ax +++，求出C '及对称直线l 2的方程x ＋y －5=0。
小结：直线关于点对称的情形：（1） 直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线。
设所求直线上一点为(,)P x y ，则它关于原点的对称点为(,)Q x y --，因为Q 点在直线L 上，故有()()0A x B y C -+-+=，即0Ax By C +-=；（2） 直线1l 关于某一点00(,)M x y 的对称直线2l 。
它的求法分两种情况：1、当00(,)M x y 在1l 上时，它的对称直线为过M 点的任一条直线。
2、当M 点不在1l 上时，对称直线的求法为：解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)P x y ，则它关于M 的对称点为00(2,2)Q x x y y --，因为Q 点在1l 上，把Q 点坐标代入直线在1l 中，便得到2l 的方程。
解法（二）：在1l 上取一点11(,)P x y ，求出P 关于M 点的对称点Q 的坐标。
再由12l l K K =，可求出直线2l 的方程。
解法（三）：由12l l K K =，可设1:0l Ax By C ++=关于点00(,)M x y 的对称直线为'0Ax By C ++=且=求设'C 从而可求的及对称直线方程。
3． 曲线关于点对称例3． 求直线C 1：y=x 2关于M （2，1）的对称曲线C 2的方程。
分析：设P （x,y ）是曲线C 2的任一点，则P 点关于M （1，1）的对称点为Q （4－x, 2－y ），因为Q 在C 1上，把Q 点坐标代入曲线C 1上，便得到C 2的方程：x 2－8x ＋y ＋14=0。
小结：曲线C 1：f(x,y)=0−−−−−−→−）对称（关于点b s,M 曲线C 2：f(2a －x, 2b －y)=0。
曲线C 2推导过程：设所求曲线上任意一点M(x,y),其关于点P （a,b ）对称的点M /(x /,y /)在曲线f(x,y)=0上．用点关于点对称的方法求出点M /的坐标后代入曲线f(x,y)=0中即得所求曲线方程．特例：f(x,y)=0−−−−−→−关于坐标原点对称曲线C 2：f(－x, －y)=0。
二、轴对称问题：即关于直线的对称问题定义:把一个图形沿着某条直线对折以后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
性质：关于某条直线对称的两个图形，对称线段平行且相等；对称线段或其延长线相交，交点一定在对称轴上；对称点的连线都被对称轴垂直平分。
1． 点关于直线对称例4．试求P （-3，5）关于直线l: 3x －4y ＋4=0的对称点P ’的坐标。
分析：直线l 是线段PP ’的垂直平分线。
解：设P （-3，5）关于直线l 的对称点为P ’（x,y ），则PP ’中点为N （23x -，25y +），则有 325y 423x +⨯--⨯+4=0（因为N 在直线l 上）…………………………………①1433x 5y -=⨯+-（因为PP ’⊥l ）…………………………………………………② ①、②联立，解得x=3,y=-3，所求对称点P ’(3,-3)。
小结：（1）点关于常见直线的对称点的坐标：① A （a,b ）关于x 轴的对称点为A'（a,-b ）② B （a,b ）关于y 轴的对称点为B'（-a, b ） ③ C （a,b ）关于直线y=x 的对称点为C'（b,a ） ④ D （a,b ）关于直线y=-x 的对称点为D'（-b,-a ） ⑤ P （a,b ）关于直线x=m 的对称点为P'（2m-a,b ） ⑥ Q （a,b ）关于直线y=n 的对称点为Q'（a,2n-b ）（2）点(,)P a b 关于某直线:0L Ax By C ++=的对称点'P 的坐标。
解法（一）：由'PP ⊥L 知，'PP B K A =⇒直线'PP 的方程→()By b x a A-=-由0()Ax By C By b x a A++=⎧⎪⎨-=-⎪⎩可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点'P 的坐标。
解法（二）：设对称点'(,)P x y 由中点坐标公式求得中点坐标为(,)22a x b y++把中点坐标代入L 中得到022a xb yA B C ++⋅+⋅+=；① 再由'PP B K A =得b y B a x A-=-②，联立①、②可得到'P 点坐标。
解法（三）：设对称点为'(,)P x y ，由点到直线的距离公式有=①，再由'PP B K A =得b y Ba x A-=-②由①、②可得到'P 点坐标。
2． 直线关于直线对称例5．求直线l 1:x －2y ＋1=0关于直线l: x ＋y －1=0的对称直线l 2的方程。
分析：思路一：先解l 1与l 组成的方程组，求出交点A 的坐标。
则交点必在对称直线l 2上，由A 、B ’两点可求出直线l 2的方程。
思路二：在l 2上任取一点P(x,y)，则P 点关于直线l 的对称点Q （x 1,y 1）在直线l 1上，再由PQ ⊥ l 得k pQ •k l =-1。
又PQ 的中点在l 上，由此解得x 1=f(x,y),y 1=g(x,y)，把Q （x 1，y 1）代人l 1的方程中可求出l 2的方程。
小结：直线1l 关于直线l 的对称直线2l 。
⑴ 当1l 与l 不相交时，则1l ∥l ∥2l 。
在1l 上取一点00(,)P x y 求出它关于l 的对称点Q 的坐标。
再利用12l l P P =可求出2l 的方程。
⑵ 当1l 与l 相交时，1l 、l 、2l 三线交于一点。
解法（一）：先解1l 与l 组成的方程组，求出交点A 的坐标。
则交点必在对称直线2l 上。
再在1l 上找一点B ，点B 的对称点'B 也在2l 上，由A 、'B 两点可求出直线2l 的方程。
解法（二）：在1l 上任取一点11(,)P x y ，则P 点关于直线l 的对称点Q 在直线2l 上，再由PQ ⊥l ，k pQ •k l =-1。
又PQ 的中点在l 上，由此解得11(,),(,)x f x y y g x y ==，把点11(,)x y 代入直线1l 的方程中可求出2l 的方程。
3． 曲线关于直线对称例6．求曲线C 1：9)3y (4)2x (22+++=1关于直线x ＋y=0对称的曲线C 2的方程。
分析：在C 2上任取一点P(x,y),可求出它关于l 的对称点坐标，再代人C 1中，就可求得C 2的方程4)2y (9)3x (22-+-=1。
小结：曲线关于常见曲线的对称曲线：① 曲线C 1：f(x,y)=0−−−−→−轴对称关于x 曲线C 2：f(x,-y)=0 ② 曲线C 1：f(x,y)=0−−−−→−轴对称关于y 曲线C 2：f(-x, y)=0 ③ 曲线C 1：f(x,y)=0−−−−→−=对称关于x y 曲线C 2：f(y, x)=0 ④ 曲线C 1：f(x,y)=0−−−−→−-=对称关于x y 曲线C 2：f(-y,-x)=0 ⑤ 曲线C 1：f(x,y)=0−−−−−→−=对称关于直线m x 曲线C 2：f(2m-x,y)=0 ⑥ 曲线C 1：f(x,y)=0−−−−−→−=对称关于直线n y 曲线C 2：f(x, 2n-y)=0 【总结】通过上述研究，解析几何中的各种对称点，对称曲线（包括直线）列表如下：【应用】在此基础上，讨论对称问题的相关应用。
应用一：思维发散1与物理中的光线问题相结合。
例7．光线通过点A （2，3）在直线l ：x ＋y ＋1=0上反射，反射光线过点B （1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程。
分析：本题表面上为一道物理中的光线问题，但本质上是数学中点关于线的对称问题。
根据几何光学知识，A 关于直线l ：x ＋y ＋1=0的对称点A ’在反射光线所在直线上，B 关于直线l ：x ＋y ＋1=0的对称点B ’在入射光线所在直线上，所以入射光线即直线AB ’,反射光线即直线BA ’。
应用二：思维发散2与最值问题相结合。
例8．已知两点A(2,3),B （4，1），直线l ：022=-+y x ，在直线l 上求一点P 。
（1） 使PB PA +最小； （2） 使PB PA -最大。
解：（1）可判断A,B 在直线l 的同侧，设A 点关于l 的对称点A 1的坐标为（x 1,y 1），则有022322211=-+⨯++y x ， 1)21(2311-=-⨯--x y 。