f ( z ) g( z ) ( an z ) ( bn z ),
n n n 0 n 0



R min(r1 , r2 )
(anb0 an1b1 a0bn ) z n ,
n0
zR
2)幂级数的代换(复合)运算
如果当 z r 时, f ( z ) an z n , 又设在
z z n z (5) cos z 1 ( 1) , 2! 4! ( 2n)!
2
4
2n
( z )
n 1 z2 z3 z n (6) ln(1 z ) z ( 1) , 2 3 n1 n 1 z ( 1)n ( z 1) n1 n0
那末 f ( z ) 在 D 内可展开成洛朗级数
f (z)
n
n c ( z z ) n 0 ,

1 f ( ) 其中cn d 为洛朗系数. n 1 2πi C ( z0 )
( n 0 , 1 ,)
C为圆环域内绕 z0 的任一正向简单闭曲线.
1 cn1 如果 lim , 那末收敛半径 R . n c n
方法2: 根值法(柯西判别法)
如果 lim n cn , 那末收敛半径 R
n
1

.
即
1 , 0 ; R , 0; 0, .
5 幂级数运算法则
则 1 时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.


3根值法：lim n un
3 复函数项级数
设{ f n ( z )} 是在点集E上有定义的一复函数列,
表达式
f
n1

n
( z )＝f1 ( z ) f 2 ( z ) ... f n ( z ) ...
幂级数
洛朗级数
充 要 条 件
必 要 条 件
泰勒级数
f ( z ) 在 z0 解析
复 变 函 数
1、复数项级数
设{ zn } { xn iyn } ( n 1, 2,)为一复数列,
表达式
z
n1

n
z1 z2 zn
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和
n 0
z R 内 g ( z ) 解析且满足 g( z ) r , 那末当 z R
n f [ g ( z )] a [ g ( z )] . 时, n n 0
3) 幂级数在收敛圆内的解析性
设幂级数
c (z z )
n 0 n 0

n
的收敛半径为R , 那末
n c ( z z ) n 0 n 0
的级数称为幂级数.
当 z0 0 时，
n 2 n c z c c z c z c z . n 0 1 2 n n 1
幂级数是最简单的解析函数级数，收敛区域是一个圆.
4 c ( z z ) 收敛半径的求法
n n 0 n 0

方法1: 比值法(达郎贝尔判别法)
定理 设 f ( z ) 在区域 D 内解析, z0 为 D 内的一
点, d 为 z0 到 D 的边界上各点的最短距离, 那末
n 当 z z0 d 时, f ( z ) cn ( z z0 ) 成立, n 0
泰勒展开式
泰勒级数
1 ( n) 其中 cn f ( z0 ), n 0, 1, 2, n!
(7) (1 z ) 1 z

( 1)
2! n!
z
2
( 1)( 2)
3! z n ,
z3
( 1)( n 1)
( z 1)
7、洛朗级数
定理
设 f ( z ) 在圆环域 R1 z z0 R2 内处处解析，
常见函数的泰勒展开式
2 n n z z z (1) e z 1 z , ( z ) 2! n! n 0 n!
1 ( 2) 1 z z 2 z n z n , ( z 1) 1 z n 0 1 ( 3) 1 z z 2 ( 1)n z n ( 1)n z n , 1 z n 0 ( z 1) 2 n 1 z3 z5 z (4) sin z z ( 1)n , 3! 5! ( 2n 1)! ( z )
1)幂级数的四则运算
(1)设 f ( z ) an z n , R r1 , g( z ) bn z n , R r2 .
n 0 n 0


f ( z ) g( z ) an z n bn z n (an bn ) z n ,
n 0 n 0 n 0
(1) 它的和函数 f ( z ) , 即 f ( z )
是收敛圆 z z0 R 内的解析函数 . (2) f ( z ) 在收敛圆 z z0 R 内的导数可将其幂
n1 级数逐项求导得到, 即 f ( z ) ncn ( z z0 ) . n1
6 泰勒级数
sn z1 z2 zn 称为级数的部分和.
那么{ sn }为一复数列Leabharlann 2、 复数项级数敛散性判别
zn ?0 判别复数项级数的 zn 敛散性时, 可先考察 lim n
n 1
lim zn 0, 级数发散; n 如果 lim z 0, 进一步判断. n n
4-6习题课
级数习题课
1、重点和难点 2、内容总结 3、习题处理
一、重点与难点
函数展开成泰勒级数与洛朗级数 重点：
难点：函数展开成洛朗级数
二、内容提要1
z为复常数
z
n 1

n
zn fn ( z )
复数项级数
收敛半径的计算
函数项级数
收敛条件
收敛半径R 运算与性质
绝 对 收 敛 条 件 收 敛
部分和极限
√实虚部级数收敛性 √绝对收敛否
充要条件：
z
n 1

n
收敛
x 与 y 都收敛
n 1 n n 1 n


必要条件： 绝对收敛 正项级数
条件收敛
u
n 1

n
收敛判别命题：
1比较法： un vn ,
un1 lim 2比值法： n u n
n
v n 收敛，则 un 收敛； n 1 n 1
称为复数项无穷级数. 部分和 其最前面 n 项的和
sn ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z ) 称为级数的部分和.
那么{ sn ( z )}为一复函数列
4. 幂级数的敛散性
在复变函数项级数中, 形如
n 2 n c ( z z ) c c ( z z ) c ( z z ) c ( z z ) n 0 0 1 0 2 0 n 0 n0