鸽巢问题
教学内容：人教版小学数学六年级下册教材第68～69页。

教材分析：
鸽巢问题又称抽屉原理，它是组合数学中最简单也是最基本的原理之一，从这个原理出发，可以得出许多有趣的结果。

这部分教材通过几个直观的例子，借助实际操作，向学生介绍了“鸽巢问题”。

学生在理解这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题“模型化”，会用“鸽巢问题”解决问题，促进逻辑推理能力的发展。

学情分析：
“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，对于学生来说是很容易的。

但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，尤其是“鸽巢问题”的逆用，学生对进行逆向思维的思考可能会感到困难，也缺乏思考的方向，很难找到切入点。

设计理念：
在教学中，让学生经历将具体问题“数学化”的过程，初步形成模型思想，体会和理解数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力，这是《标准》的重要要求，也是本课的编排意图和价值取向。

教学目标：
1、知识与技能：通过操作、观察、比较、推理等活动，初步了解鸽
巢原理，学会简单的鸽巢原理分析方法，运用鸽巢原理的知识解决简单的实际问题。

2、过程与方法：在鸽巢原理的探究过程中，使学生逐步理解和掌握鸽巢原理，经历将具体问题数学化的过程，培养学生的模型思想。

3、情感态度：通过对鸽巢原理的灵活运用，感受数学的魅力，体会数学的价值，提高学生解决问题的能力和兴趣。

教学重点：理解鸽巢原理，掌握先“平均分”，再调整的方法。

教学难点：理解“总有”“至少”的意义，理解“至少数=商数＋1”。

教学准备：多媒体课件、合作探究作业纸。

教学过程：
一、谈话引入：
1、谈话：老师这有一副扑克牌,如果我将这两张王牌去掉,还剩52张
你们知道这52张牌有几种花色？对，接下来我们来做一个
游戏。

请5位同学，每人从这副牌中抽1张。

我来猜一猜：
你们5位同学抽的牌中同种花色的肯定至少有2张！老师
猜的对不对？（请5位学生抽牌、亮牌、统计）
这是不是巧合呢？我们再来抽一次！
2、设疑：其实老师并没有神机妙算的功能，是因为这里面蕴含了一
个有趣的数学原理。

相信通过今天的学习，你们也能解释这个现象了，我们先从简单的情况入手研究。

二、合作探究
（一）初步感知
1、出示题目：有3张牌，2个盘子（把实物摆放在讲桌上），把3张
牌放进2个盘子，怎么放？有几种不同的放法？谁愿意上来试一试。

2、学生上台实物演示
学生板贴，老师记录
3、提出问题：（老师交换位置放）这三张牌不管怎么放，你们有什么
发现？
我们可以说“不管怎么放，总有一个盘子里至少有2张牌”吗？
学生尝试回答，师引导：这句话里“总有一个盘子”是什么意思？（一定有，不确定是哪个盘子，最多的盘子）。

“至少有2张”是什么意思？（最少有2张，不少于2张，包括2张及2张以上）
4、得到结论：从刚才的实验中，我们可以得到3张牌放进2个盘子，
总有一个盘子至少放进2张牌。

（二）列举法
过渡：如果现在有4支铅笔放进3个笔筒，还会出现这样的结论吗？
1、合作要求：
（1）画一画：将每种分法记录下来；
（2）找一找：每种摆法中一个笔筒最多放了几支，用笔标出；（3）小组交流，我发现：（）2、学生汇报，展台展示。

交流后明确：
（1）四种情况：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，1，1）、（2，2，0）
（2）每种摆法中最多的一个笔筒放进了：4支、3支、2支。

（3）总有一个笔筒至少放进了2支铅笔。

3、小结：刚才我们通过“画图”、“数的分解”两种方法列举出所有
情况验证了结论，这种方法叫“列举法”，我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论，找到“至少数”呢？
（三）假设法
1、学生尝试回答。

（如果有困难，也可以直接投影书中有关“假设法”
的截图）
2、学生操作演示，教师图示。

3、语言描述：把4支铅笔平均放在3个笔筒里，每个笔筒放1支，
余下的1支，无论放在哪个笔筒，那个笔筒就有2支笔，所以说总有一个笔筒至少放进了2支笔。

（指名说，互相说）
4、引导发现：
（1）这种分法的实质就是先怎么分的？（平均分）
（2）为什么要一开始就平均分？（均匀地分，使每个笔筒的笔尽可能少一点，方便找到“至少数”），余下的1支，怎么放？（放进哪个笔筒都行）
5、同学们太聪明了，所以老师想请你们帮我想想
如果把10个苹果放进9个抽屉，至少有（）个苹果放进同一个抽屉。

把6只鸽子飞进5个鸽笼，至少有2只鸽子在一个鸽笼，对吗？
6、小结：刚才的这种方法就是“假设法”，它里面就蕴含了“平均分”，现在会用简便方法求“至少数”吗？
（四）建立模型
1、出示题目：5支笔放进3支笔筒，会怎样？
学生可能有两种意见：总有一个笔筒里至少有2支，至少3支。

针对两种结果，各自说说自己的想法。

2、小组讨论，突破难点：至少2支还是3支？
3、学生说理，边摆边说：先平均分每个笔筒放进1支笔，余下2只
再平均分放进2个不同的笔筒里，所以至少2只。

（指名说，互相说）
4、质疑：为什么第二次平均分？（保证“至少”）
你们能用算式表示出这个过程吗？
5÷3＝1（支）…2（支） 1+1＝2（支）
算式中的两个“1”是什么意思？
5、如果把笔的数量进一步增加呢？
7支铅笔放进3个笔筒，总有一个笔筒里还是至少有2支吗？为什么？
6、学生说理，边摆边说：先平均分每个笔筒放进2支笔，余下1支
无论放在哪个笔筒，那个笔筒就有3支，所以总有一个笔筒至少2支。

列式为7÷3＝2（支）…1（支） 2+1＝3（支）
这里的2和1又分别是什么意思？
7、对比算式、找规律
如果把笔和笔筒数量都增加呢？
14支笔放进4个笔筒，至少几支放进同一个笔筒？
14÷4＝3（支）…2（支） 3+1＝4（支）
38支笔放进7个笔筒，至少几支放进同一个笔筒？？
38÷7＝5（支）…3（支） 5+1＝6（支）
8、对比算式，发现规律：先平均分，再用所得的“商+1”
9、强调：和余数有没有关系？
学生交流，明确：与余数无关，不管余多少，都要再平均分，所以就是加1.
三、鸽巢原理的由来
同学们从数学的角度分析了这些事情，同时根据数据特征，发现了这些规律。

你们发现的这个规律和一位数学家发现的规律一模一样，只不过他是在150多年前发现的，你们知道他是谁吗？——德国数学家“狄里克雷”，后人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，由于人们对鸽子飞回鸽巢这个引起思考的故事记忆犹新，所以人们又把这个原理叫做“鸽巢原理”，它还有另外一个名字叫“抽屉原理”。

四、原理应用
“抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。

1、
分宝1
师：有一天，一群海盗获得了很多宝贝，海盗首领非常高兴，对手下8个小海盗说，这些宝贝都给你们了，你们自己处理吧，没想到小海盗平时都抢惯了，一拥而上，有人拿得很多，有人很少，甚至有人一件宝贝也没拿到，看到小海盗们乱哄哄的样子，海盗首领非常生气，就想惩罚一下那些贪婪的海盗，机会终于来了！有一次：海盗们获得了73件宝贝，海盗首领又叫8个小海盗自己分。

且规定：1、必须分完。

2、若某人拿10件或10件以上的宝贝，说明他是个过分贪婪的人，就把他扔进大海喂鲨鱼。

海盗们是否都能逃过这一劫呢？
小组讨论后派代表说说想法，其他同学可以补充。

无论怎样分，总有一个海盗至少会拿到10件，这个海盗怎么办呢？学生自由谈看法。

师：正在海盗们担心的时候，事情有了转机，小海盗们趁着天黑偷偷地把一件宝贝扔进大海，现在只剩下72件宝贝，大家都平安无事。

分宝2
师：海盗们终于逃过一劫，海盗首领回到自己屋里，闷闷不乐，夫人问他为什么不开心，海盗首领如实相告，夫人说是不是有人把一件宝贝扔到海里去了，海盗首领如梦方醒，决心下一次不再上当，又是在一个风急天黑的夜晚：海盗们获得了79件宝贝，首领还是要8个小海盗自己分，规则不变，还警告，79件宝贝已数得清清楚楚，谁要是作弊，也要受到惩罚。

师：有几个小海盗们听闻后大惊失色，心想这下可能真的逃不过去了，
有一个聪明的海盗镇定自若，站出来对海盗首领说，既然宝贝比上次增加了6件，能不能把限定的10件提高1件？海盗首领心想，宝贝增加这么多，而限定只提高1件，还是肯定有人会受到惩罚，就同意了小海盗的请求。

你认为首领的想法对吗？说说你是怎样想的。

学生先小组讨论，然后再叫几个学生来说说是怎样想的。

老师再对学生的思路进行梳理。

以上我们所碰到的问题是什么问题？他的解答或证明的方法是怎样的？你能否找到被分的物品数和抽屉数？
师：靠着小海盗的聪明才智，事情终于风平浪静。

2、现在谁能解释牌的问题？
3、（机动）如果不看花色，只看数字，至少取出多少张牌才能保证有
2张同样大小的牌？
五、我们研究到这里，谁来谈谈你对鸽巢原理的想法。

板书：
鸽巢原理
至少数
列举法 5÷3= 1（支）……2（支）1+1=2（支）
假设法7 ÷3= 2（支） (1)
（支）2+1=3（支）
先平均分商＋1。