例2．已经曲线C：y=x3－x+2和点A(1,2) 求在点A处的切线方程？
解：f/(x)=3x2－1， ∴k= f/(1)=2 ∴所求的切线方程为： y－2=2(x－1), 即 y=2x
例2．已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2),求在点A 处的切线方程？
变式：求过点A的切线方程？
解：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1， ∴切线方程为 y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0) 又∵切线过点A(1,2)
常用的还有:
1
1 x
1 x2
2 x 1 2x
②.导数的运算法则 u f x,v gx
（1）函数的和或差的导数
(u±v)/＝u/±v/.
（2）函数的积的导数
(uv)/＝u/v+uv/. 特例:(Cu)/ =Cu/ (C为常数)
（3）函数的商的导数
（ u ） / = u ' v uv ' (v≠0)。
变式: 求曲线 f x x3 3x2 2x 过原点的切线方程.
设切点为A x0 , x03 3x02 2x0 , k f x0 3x02 6x0 2 切线为y x03 3x02 2x0 3x02 6x0 2 x x0 过0,0 x03 3x02 2x0 3x02 6x0 2 x0
∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0) 化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0， 解得x0=1或x0=－
1 2
①当x0=1时1，所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x ②当x0=－ 2 时，所求的切线方程为：
y－2=
－
1 4
(x－1),即x+4y－9=0
点评:①在A点的切线,A为切点 ②过A 点的切线,A可能是切点也可能不是切点, 求过A点的切线时,先设出切点,再利用导数求切线
平均变化率为:(
y
y f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
2.函数的瞬时变化率
f(x2)
B
f(x2)-f(x1)=△y
f(x1) O
A x2-x1=△xx
x1
x2
lim
x 0
lim
x 0
f (x) lim f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
x2 x1
分母是分子中两
f (x) f '(x)
导数 个自变量的差.
x
例1已知f
x0
2, 求 lim k 0
f
x0
1 k 2
k
f
x0
_________
lim 解 : f x0 x 0
f
x0
( 1 k) 2 -1k
f
x0
-2 ,
x
1 2
k
2
lim k0
f
x0
1 k 2
k
f
x0
1 2
lim k0
f
x0
1 k 2 -1k
（4）对数函数的导数:
(1) (ln x) 1 . (2)
x
（5）指数函数的导数:
(loga
x)
1. x ln a
(1) (e x ) e x .
(2) (a x ) a x ln a(a 0, a 1).
乘以lna
易混的是 : (a x ) __a_xl_n_a__ 与(xa ) __a_x_a-_1__ 例 (3x ) __3_xl_n_3___, (x3) __3_x_2_____
3x03
2 x03
x0
0或x0
3 2
所求曲线的切线方程为y=2x与
y1x 4
4公式①.基本初等函数的导数公式
（1）常函数：(C)/ 0, (c为常数)；
（2）幂函数 ： (xn)/ nxn1
（3）三角函数 （：1）(sin x) cos x
（2）(cos x) sin x (3)(tanx)/ =?
h
4
3.导数的概念：
1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量
x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△ x)－f(x0)，
若极限 lim y lim f (x0 x) f (x0 ) 存在，则此极限称为
x x0
x0
x
f(x)在点x=x0处的导数，记为f /(x0)，或y| xx0
f
x0
2
1 2
f
x0
1 2
2
1
可将分母的系数直 接乘过去
练习:1 若f
x0
2,则lim k0
f
x0
k
2k
f
x0
__-1__
f
x0
lim k 0
f
x0
k
k
f
x0
2
2若f
x0
4,则lim h0
f
x0 f x0
2h
h
___2____
f
x0
lim h0
f
x0
f h
x0
2．导数的几何意义：
函数y=f(x)在点x0处的导数f /(x0)就是曲线在(x0，f(x0))处的切
线的斜率，所以曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 yy0=f /(x0)·(x－x0)．
3．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t 的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间t的导数， 即v(t)=s /(t). 加速度a=v/ (t),加速度a=s// (t)
v
v2
5.导数与单调性 一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内
1) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x)在这个区间（a,b) 内单调递增；
2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x）在这个区间(a,b) 内单调递减。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
f '(x)<0
f '(x)>0
第一章 导数及其应用复习
本章知识结构
导数概念 导数 导数运算
导数应用
函数的瞬时变化率
运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值、最值
曲线的切线 变速运动的速度
最优化问题
1.函数的平均变化率
函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 Y=f(x)
oa
bx
oa
bx
如果在某个区间内恒有 f (x) 0 ,则 f (x)为常函数. 返回
6.极值点与极值
y
ax
x
函数y f x在x a的左侧f 'x
a点, 若f 0, 右侧f
'x 'x
x 0x 00,,则a叫极1 大_2_值点3 ,
f
bx
4
a叫极大__值.
a的左侧f 'x 0,右侧f 'x 0,则a叫极_小_值点, f a叫极_小_值
极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值 统称为极值.
注意:1,极值点 指 x的值. 极值 指 y 的值.