方程 u x2u2 y2u2 z2u2 0
证： u x
1 r2
r x
1 r2
x r
r2
2u x2
1 r3
3x r4
பைடு நூலகம்
r x
1 r3
3x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2
r13
3ry52
,
2u z2
r13
3rz52
二元函数微积分——偏导数和全微分
二元函数的基本概念
一、区域 二、二元函数的概念
区域
平面点集： 平面上满足某个条件的一切点构 成的集合。
平面区域： 由平面上一条或几条曲线所围成 的部分平面点集称为平面区域，
y 通常记作D。
边界
·
01
闭开区域
x
常见区域
y
y2(x)
0 a y1(x) b x
X 型区域
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
fx(x,
y,
z)
lim f(xx, y,z)f(x,y,z)
x 0
x
fy(x,y,z)? fz(x,y,z)?
(请自己写出)
由偏导数的定义可以看出，要求二元函
函数 z 也称为因变量，x, y 的变化范围 D 称为函数的定
义域。 类似的，可以定义三元函数 u f (x, y, z) 及三元以上的函数。
自变量个数
定义域
x 一元函数 一个：
在数轴上讨论
（区间）
二元函数 两个：x, y 在平面上讨论
（区域）
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
由 xa xb
y2(x) y1(x)
四条曲线围成
y
d
x2(y)
c x1(y)
0
x
Y 型区域
由 yc y d
x1(y) x2(y)
四条曲线围成
邻域:
平面上以点 P0 (x0 , y0 ) 为圆心， 0 为半径的圆内部构成
的有界开区域 D (x, y) (x x0 )2 ( y y0 )2 , 0 称
xz 1 z2z yx lnxy
证: z yx y1, z xy lnx
x
y
xz 1 z xyxy 2z yx lnxy
例3. 求 r x2y2z2 的偏导数 .
解:
r
2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r y , r z y r z r
例4. 已知理想气体的状态方程 pVRT(R 为常数) ,
y 0
y
d dy
f
(x0,
y)
yy0
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
z , x
f , x
zx ,
fx(x,y), f1(x,y)
z , y
f , y
zy ,
fy(x,y), f2(x,y)
求证: pVT 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , V R p T p
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
T pV , T V R p R
分子与分母的商 !
pVT V T p
RT pV
1
练习
1、 求二元函数 z exy 的一阶偏导数。 2、 求二元函数 z arctan y 的一阶偏导数。
f x
(x0,
y0)
;
zx (x0, y0) ;
fx (x0,y0);f1(x0,y0)
注意: fx(x0, y0) lx i0m f(x0 x,y 0 x )f(x0,y0)
d dx
f
(x,
y0)
xx0
同样可定义对 y 的偏导数
fy(x0, y0) limf(x0,y0y) f(x0,y 0 )
为点 P0 (x0 , y0 ) 的 邻域。
y
•
P0(x0, y0)
·
01
x
二元函数的概念
定义：设有三个变量 x, y 和 z ，如果当变量 x, y 在某平面区域 D 内任取一组值时，变量 z 按照一定的规 律 f ，总有唯一确定的数值与之对应，则称 z 为 x, y 的
二元函数，记作 z f (x, y) ，其中 x, y 称为自变量，
x zfx(x,y), y zfy(x,y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
( z ) x
2z x2
fxx(x,y);
(z) y x
2z x y
fxy(x,y)
x
(
z y
)
2z yx
fyx(x,
解： xzexy(xy)xexy yzexy(xy)y exy
2z x2
x
(z) x
exy(xy)xexy
z2 xy
y
( z ) x
exy(xy)yexy
z2 (z) yx x y
exy(xy)x exy
2z z
y2
y
() y
exy(xy)yexy
例6. 证明函数 u1,r x2y2z2满足拉普拉斯 r
偏导数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
定义： 设函数 zf(x,y)在点 (x0,y0) 的某邻域内
极限
lx i0m f(x0x,y0 x)f(x 0 ,y0)
存在, 则称此极限为函数 z f( x ,y )在 ( x 0 ,y 点 0 )对 x
的偏导数，记为
z x
(x0,
y0
);
x
3、 求二元函数 z esin x cos y 的一阶偏导数。 4、 求二元函数 z y ln( x 2 y 2 ) 的一阶偏导数。
5、 已知二元函数 z ln( x y ) ，证明：关系式
x z y z 1 x y 2
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
y);
y(yz)y2z2fyy(x,y)
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
x
(x22z)
3z x3
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
y
(
n
x
1 n
z
1
)
nz x n1 y
例 5． 求二元函数 z e xy 的二阶偏导数。
数对某个自变量的偏导数，只需将另一个 自变量看做常量，然后利用一元函数求导 公式和求导法则即可。
例1 . 求 zx23xyy2在点(1 , 2) 处的偏导数.
解： z
x
z x
(1, 2)
2x3y,
z y
3x2y
2 1 3 2 8 ,
z y
(1, 2)
31227
例2. 设 zxy(x0,且 x1 ） ， 求证