解: 如图所示, 设法线上的任一点为(X,Y),
曲线上的点 P(x, y) 处的法线方程为
Yy
1 y
(Xx)
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
y
P
Xxyy
x yy x, 即 yy2x0 Q o x x
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内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才
能停住 , 以及制动后行驶了多- 少路程 .
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微分方程的基本概念
含未知函数及其导数(微分）的方程叫做微分方程 .
分类 常微分方程(未知数是一元函数) (本章内容) 偏微分方程(未知数是多元函数)
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y ( x 0 ) y 0 , y ( x 0 ) y 0 , , y ( n 1 ) ( x 0 ) y 0 ( n 1 )
引例1
dy dx
2x
y x12
引例2
d 2s
dt 2 0.4
st00,
ds dt
t0 20
通解: yx2 C 特解: yx2 1
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
已知
d2 dt
s
2
0.4
ds
st00, dt
t
0 20
再由积前分一次s 积 分0 .,2 可t2 得 C 1t C 2V(t)ddst0.4tC1
利用后两式可得 因此所求运动规律为
C 12,0 C 20 s0.2t220 t
例如, 方程 (xy)y0有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 .
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2. 解微分方程应用题的方法和步骤 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.
常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: 例1，4 )
2) 根据物理规律列方程( 如: 例2 )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3) 根据微量分析平衡关系列方程 (P298,6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.
y e xc 1 1 ,c 2 0 是方程的特解. y e 3 xc 1 0 ,c 2 1 是方程的特解.
ycex 其中只有一个常数,则即不是方程的
通解,也不-是特解.
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例4 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求曲线所满足的微分方程 .
(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
书上 例2 例4 自学
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作业
P298 1（1）（5）口答; 2 (3); 5;
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解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dy 2x
①
dx
y x12
②
由 ① 得 y2xdx x2C (C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 yx21.
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引例2. 列车在平直路上以 20m s 的速度行驶, 制动时
获得加速度 a0.4ms2,求制动后列车的运动规律.
s 0 .2t2C 1 tC 2
s0.2t22t0
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例3 二阶微分方程 y4y3y0试问下列函数
1 .yc 1 exc2 e3x 2 .y ex 3 .y e 3 x 4 .y cxe
是否是方程的解,是通解还是特解?
解: 分别将四个函数代入方程,均 左边=右边
则这四个函数均为方程的解.
y c 1 e x c 2 e 3 x其中有两个任意常数是方程的通解.
高等数学
第二十九讲
主讲教师: 王升瑞
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第七章 微分方程
已y知 f(x),求 y— 积分问题 推广
已知含y及其若干阶导数的 ,求方y 程 — 微分方程问题
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2
第一节
第七章
微分方程的基本概念
几何问题 引例
物理问题
微分方程的基本概念
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3
引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的
切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .
F (x,y,y, ,y(n))0
或 y (n ) f(x ,y ,y , ,y (n 1 ))( n 阶显式微分方程)
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微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.