高为 5，则蚂蚁爬行的最短距离为
．
题型四、台阶问题
例题：如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20cm、3cm、2cm．A 和 B 是这个台
阶上两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到
点 B 的最短路程为
cm
题型五、非对顶点问题 例题 1：如图，长方体的底面边长分别为 2cm 和 4cm，高为 5cm．若一只蚂蚁从 P 点开始经过 4 个
侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为
cm．
1、如图 1，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm.如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个
侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要＿＿＿cm；如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 n 圈 到达点 B，那么所用细线最短需要＿＿＿cm.
(1)观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并说明你的结论； (2)已知 PA：PB：PC=3：4：5，连接 PQ，试判断△PQC 的形状，请说明理由．
例 9、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世
界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路 X 同侧，AB＝50km，A、B 到直线 X 的距离 分别为 10km 和 40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 P，向 A、B 两景区运送游客.小民设计了 两种方案，图 1 是方案一的示意图（AP 与直线 X 垂直，垂足为 P），P 到 A、B 的距离之和 S1＝PA+PB， 图 2 是方案二的示意图（点 A 关于直线 X 的对称点是 A′，连接 BA′交直线 X 于点 P），P 到 A、B 的 距离之和 S2＝PA+PB.
B
6cm
A
1cm 3cm
图1
一、 能力培养
例 1：（1）一轮船以 16 n mi1e／h 的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 n mi1e／h 的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口 A2h 后，两船相距
（2）一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端 5 m， 消防车的云梯最大升长为 13 m，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是
（3）一棵树在离地面 9m 处断裂，树的顶部落在离底部 12 m 处，树折断之前有_______m．
例 2：如图，梯子 AB 靠在墙上，梯子的底端 A 到墙根 O 的距离为 7m，
梯子的顶端 B 到地面的距离为 24 m，现将梯子的底端 A 向外移动到
A'，使梯子的底端 A'到墙根 O 的距离等于 15 m．同时梯子的顶端
例 6、如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点 B 处看见一个小球从点 A 出发沿着 AO 方向匀速滚向点 O，机器人立即从点 B 出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点 C 处截住 了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程 BC 是多少?
例 4：《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过 70 千 米／时．一辆“小汽车”在一条城市街道上直道行驶，如图某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测 仪 A”正前方 50 米 C 处，过了 6 秒后，测得“小汽车”位置 B 与“车速检测仪 A”之间的距离为 130 米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．
例如：3、4、5 是一组勾股数，但是以 0.3 cm、0.4 cm、0.5 cm 为边长的三个数就不是勾股数。
二、同步题型分析
1、等腰三角形的周长是 20 cm，底边上的高是 6 cm，求它的面积.
2、（1）在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝8，DE 垂直平分 AB，求 BE 的长.
（2）在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝8，AE 平分∠CAE，ED⊥AB,求 BE 的长.
例 7、如图，在一棵树的 10 m 高的 D 处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树 20 m 处的池塘 A 处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘 A 处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？
例 8、如图，点 P 是等边△ABC 内的一点，分别连接 PA、PB、PC，以 BP 为边作∠PBQ=60°，且 BQ=BP，连接 OQ．
长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为
.
D1
C1
A1 D
A
4
B1
1 C
2 B
例题 2、如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B 离点 C 的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着
长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是
。
例题 1、如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高 AA1 的端点 A 到达 A1，若圆柱底面半径为 6 ，
勾股定理中最短路径问题专题
一、同步知识梳理
1、勾股数：满足 a2＋b2＝c2 的 3 个正整数 a、b、c 称为勾股数． （1）由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：
①满足 a2＋b2＝c2 ②都是正整数．两者缺一不可． （2）将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足 a2＋b2＝c2 (但不一定是勾股数)，
中最小者的值。 圆柱体： （1）圆柱体的高是 h、半径是 r；（2）要求圆柱体的对顶点的最短距离。
圆柱体盒子外小虫爬行的最短路线 d ； 两条路线比较：其一、AC+BC 即高+直径 ；
其二、圆柱表面展开后线段 AB= h2 r 2 的长.
题型二、长方体
例题 1、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处（三条棱
B 下降至 B'，那 BB'等于 ( )
A．3m
B．4 m
C．5 m
D．6 m
例 3：（1）在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面 1 米，一阵风吹来，红莲吹到一边，
花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 2m，求这里的水深是多少米？
（2）学校旗杆顶端垂下一绳子，小明把它拉直到旗杆底端，发现绳子还多 2 米， 他把绳子全部拉直且使绳的下端接触地面，绳下端离开旗杆底部 6 米， 则旗杆的高度是多少米？
（3）如图，折叠长方形纸片 ABCD，是点 D 落在 边 BC 上的点 F 处，折痕为 AE，AB=CD=6，
AD=BC=10，试求 EC 的长度.
C
C
E
E
A
D
B
A
D
B体的长、宽、高分别为 a、b、c；（2）求如图所示的两个对顶点的最短距离 d。
B
B
A
A
（2）长方体盒子表面小虫爬行的最短路线 d 是 （a b）2 c2 、（a c）2 b2 、（b c）2 a 2