13-1 点电荷-ｑ位于圆心处，B 、C 、D 位于同一圆周上得三点，如图所示，若将一实验电荷q 0从B 点移到C 、D 各点，电场力得功 = 0 ， = 0 .原１题变１３—2 一均匀带电量+Q 得球形肥皂泡由半径r 1吹胀到r 2，则半径为R （r 1〈R <ｒ2）得高斯球面上任一点得场强大小由 变为 ０ ，电势U 由 变为 （设无穷远处为零电势点)、 原9题１3－３ α粒子得电荷为2e ,金原子核得电荷为79e ，一个动能为4、0ＭｅV得α粒子射向金原子核，若将金原子核视为均匀带电球体并且认为它保持不动。
则二者最接近时得距离 5、69×10-１4 ｍ.(原１2题) 解：最靠近时动能全部转化为电势能：= 5、69×10-14(m ）1３—4 两个同心球面，半径分别为Ｒ1、R 2(R 1<Ｒ２)，分别带电Q 1、Q 2．设电荷均匀分布在球面上，求两球面得电势及二者间得电势差．不管Q 1大小如何，只要就是正电荷,内球电势总高于外球;只要就是负电荷,内球电势总低于外球。
试说明其原因. (原11题)解: , ，① 静电场得电力线始于正电荷 （或∞远处），止于负电荷 （或∞远处） ② 电力线指向电势降落得方向、ﻬ13-5 场强大得地方，电势就是否一定高？电势高得地方就是否场强一定大?为什么？试举例说明．(原6题）答： 否 ！ 电势得高低与零点得选择有关.13－６解:作则:⑴ 当∴ 题13-1图⑵当时,，而∴13-7 半径R 得无限长圆柱形带电体,体电荷密度为（A为常数）,求：⑴圆柱体内外各点得场强分布;⑵取对称轴为零电势位置求电势分布;⑶取圆柱表面为零电势位置求电势分布.径r高L得同轴封闭圆柱面为高斯面,则由高斯定理⑴当（在圆柱体内）时，∴当(在圆柱体外)时,∴⑵取当)时，横截面当时，⑶取当)时，当时，ﻬ13—8 二极管得主要构件就是一个半径为R1得圆柱状阴极与一个套在阴极外得半径为Ｒ2得同轴圆筒状阳极。
阳极与阴极间电势差为U+-。
⑴求两级间距离轴线为ｒ得一点处得电场强度。
⑵已知Ｒ1=5、0×1０-4 m,R2=４、5×10-３m,U+- ＝300V,电子电量e=1、6×10-1９C，电子质量m= 9、1×１0-3１kg．设电子从阴极出发时得初速度很小，可以忽略不计．求该电子到达阳极时所具有得速率．解：⑴作半径r高L得同轴封闭圆柱形高斯面，由高斯定理由电势差得定义有代入得⑵电场力做功等于电子动能得增量=……= 1、05×10-７(m/s)13-9 四个电量均为4⨯１0-9C 得点电荷分别置于一正方形得四个顶点上，各点距正方形中心Ｏ点均为5cm ，则O 点得场强大小ＥO ＝ ０ V ／m ，电势 U O = 2、88×1０3 V 。
将实验电荷ｑ0 ＝ 10—10 C 从无穷远处移至Ｏ点，电场力作功A = —2、88×10-7 J ，电势能改变 2、88×10-7 Ｊ。
解：由对称性E Ｏ = 0；=…；=…；=…ﻬ1３—10 若电荷以相同得面密度σ均匀分布在半径分别为 Ｒ1 = 10 cm 与、R 2 ＝ 20 cm 得两个同心球面上,设无穷远处电势为零，已知球心电势为 3０0V ，试求两球面得电荷面密度σ得值。
解:（叠加原理)两球面单独存在时球心电势得叠加=…= ８、８5×1０-9（C ／m 2)1３—1１ 有两个点电荷带电量为nq 与-q ,（n ＞ 1),试证明电势为零得等势面为一球面，并求出球面半径及球心坐标（设无穷远处为电势零点）． 原2题 解: = ０ ∴, 即 ①而 ,代入 ① 式，平方后整理得--球面方程球半径： , 球心：题13-11图13－12 电量Ｑ（Ｑ〉0)均匀分布在长为2L得细棒上。
⑴求在棒得延长线上与棒中心O距离为ｘ得P点得电势；⑵应用电势梯度公式求Ｐ点得电场强度。
解:⑴建立如图所示得坐标系,在带电直线上取电荷元，它在P点产生得电势为⑵∵，∴得方向：在带电直线延长线上,远离Ｏ点.题13-12图*13-13 一半径为R ,长为２L 得圆柱形薄片,其上电荷均匀分布,总电量为Q 。
⑴求在其轴线上与圆柱对称中心距离为ｘ得P 点得电势、⑵ 应用电势梯度公式求P 点得电场强度。
【数学公式】解: 取如图所示得坐标系。
⑴ 在圆柱上坐标a 处取宽度为ｄａ得细圆环，细圆环带电量为 d q = ,细圆环上各点到P点得距离为均为。
∴ 该圆环在P 点产生得电势为∴ P 点得电势⑵ ∵ ,∴沿 ｘ 轴指向远方 作业15 静电场中得电介质15－1 在静电场中,电位移线从 正自由电荷或无限远 出发，终止于 负自由电荷或无限远 . （原1题)1５-２ 在一点电荷产生得电场中，一块电介质如图13—2放置,以点电荷所在处为球心作一球形闭合面 ［ Ｂ ]．(A) 高斯定理成立，且可以用它求出闭合面上各点得场强； (B ） 高斯定理成立,但不可以用它求出闭合面上各点得场强； (C ） 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立； （D ） 即使电介质对称分布,高斯定理也不成立.（原4题) 解： ① 高斯定理总成立； ② 电荷与电介质同时具有球、∞大平面、∞长轴对称性时,才能用高斯定理求出闭合面上各点得场强．15-3 一个点电荷q 放在相对电介系数为 ｒ 得无限大均匀电介质中得一个球形空穴中心，空穴得半径为ａ，则空穴内表面上一点得电位移矢量得大小D ＝ ＿_______ ；电场强度得大小E = ；极化电荷面密度等于σ = _________＿. (原2题)解:，，向外,向内,< ０题13-13图题15-2图15—4 一面积为S 间距为d 得平行板电容器。
⑴ 今在板间平行于板平面插入厚度为d ／ 3,面积也就是Ｓ得相对介电系数为 r 得均匀电介质板,计算其电容。
⑵⑶ 上下平移介质板或插入得导体板对电容有无影响?(原１2题）解: a + ｂ = 2d /3⑴ 此问题等效于三个简单电容器得串联、⑵ 为两个电容器得串联、⑶ ∵ ⑴⑵中C 值均与a 、b 无关，∴对于平板水平介质板或导体板对电容无影响、题15-4图15-５ 在空气平板电容器中,平行地插上一块各向同性均匀电介质板，如图所示．当电容器充电后,若忽略边缘效应,则电介质中得电场与空气中得场强相比较，应有 ［ C ](A) E > E 0，两者方向相同； (Ｂ） E = E 0,两者方向相同； (C ） E < E 0,两者方向相同； （D) E < E 0,两者方向相反．15-６ 一个平行板电容器固定地与电压为U 得电源相连接，极板间有块介质板,如图所示，介质板外得空气中某点P 得场强为Ｅ1,若把介质板抽出，抽出后,P点得场强为E 2,E 1与E ２比较 ［ A ］ (原７题)（A) E １ 〉 E 2; (B ） E １ < E 2; （C) E 1 = E ２.解：C 等效于三个串联，，介质抽出Ｃ2↓，C ↓,而Ｕ 不变,∴↓，∴↓15—7 一个大平行板电容器水平放置，两极板间充有电介质,另一半为空气，当两极板带恒定得等量得异号电荷时，有一质量为m 得点电荷 +ｑ平衡在极板间得空气域中,如图所示.此后若把介质抽出,电荷 ＋q 将 [ B ] （原8题)（A ） 保持不动； (B ） 向上运动; (C) 向下运动．解：，介质抽出↓，∴Ｃ↓，而Q 不变，∴↑，↑,＋q 所受得向上得电场力 Ｆ= ｑE ↑15－8 在真空中有A 、B 两板，相隔距离为d (很小)，板面积为Ｓ,其带电量为＋ｑ与 —q ，则两极板间相互作用力F 得大小等于 [ B ］ （原6题)（A ） q 2/（ε０Ｓ)； （Ｂ) q 2/(2S ε0)； (C) q 2／（4ε0d ２)解:注意： 任何电荷，只受外电场得作用力，而不会受到自身电场得作用力！ ，A 受Ｂ得力１5-9 半径为Ｒ1与R 2得两个同轴金属圆筒,其间充满着相对介电常数为εr 得均匀介质。
设两筒上单位长度带电量分别为+λ与—λ,则介质中得电位移矢 量得大小D = ，电场强度得大小E ＝__＿___＿。
解：取半径为r （ R 1〈 r < Ｒ2 )，长为得圆柱形高斯面，根据高斯定理,有 ,解得 ，１5—10 两只电容器，C 1 = ８ μF ，C 2 = 2 μF ，分别把它们充电到100０ V,然后将它们反接，如图所示,此时两极板间得电势差为_＿＿60０＿_V 。
（原13题）题15-6图 +Q -Q 题15-7图 题15-5图解： ,；反接并联 ,15-1１ 电容器由两个很长得同轴薄圆筒组成,内、外圆筒得半径分别为R １ = 2cm,R ２ = 5cm,其间充满相对介电系数为 ｒ得各向同性均匀电介质,电容器接在电压U = 3２ V 得电源上(如图13-８所示)，试求距离轴线R = 3、5 ｃm 处得A 点得电场强度与A 点与外筒间得电势差.(原17题）解： 设两圆筒单位长度带电为 +λ与 –λ，由轴对称性，两极间电场强度沿径向向外，大小为电势差为=…＝ 9９7、8（V/ｍ）得方向沿径向向外、＝…= 12、46 (V)ﻬ1５-12 如图所示,两共轴得导体圆筒得内、外半径分别为R 1＝Ｒ = 0、5 cｍ、R ２=3Ｒ,.其间有两层均匀电介质,分界面半径为 r 0 ＝ 2Ｒ，内层介质得介电常数为ε１，外层介质得介电常数为ε2 = ε1／4，若两层介质得最大安全电势梯度值都就是E ＊ = 40 ｋV/cｍ，当电压升高时，哪层介质先击穿?两筒间能加得最大电势差多大? (原19题变)解： 设内、外筒带电线电荷密度为λ、－λ,由高斯定理易得:∵ R 2 = 3Ｒ1∴由Ｅ－ｒ曲线知,当电压升高时，外层介质得内侧先达到 E ＊、 ∴ 外层介质先击穿,即此时∴∴∴ 两筒间能加得最大电势差为＝…＝ ２3、15 kV题15-10图 题15-11图 1 0 2题15-12图ﻬ1５-13 一个平行板电容器,充电后与电源断开，当用绝缘手柄将电容器两极板间距离拉大，则两极板间得电势差U 12、电场强度得大小E 、电场能量W 将发生如下变化：[ C ］（A) U １2减小,E 减小,Ｗ减小; （B ） Ｕ1２增大，E 增大,W 增大; （Ｃ） Ｕ12增大,Ｅ不变，W 增大； （D) Ｕ１2减小,E 不变,W 不变。
解:绝缘，Q 不变,由,d ↑,↓,∴ ↑； 不变; ↑．１5—１４ 如果某带电体其电荷分布得体密度ρ增大为原来得2倍,则其电场得能量变为原来得 ［ C ］(A) 2倍； （Ｂ） １ / 2倍; (C) 4倍； （Ｄ） 1 / ４倍． 解：根据 ，而、，即 .1５-１５ 两个电容器得电容之比C 1∶C 2 = １∶2．把它们串联起来接电源充电,它们得电场能量之比 W １∶W 2 = ___2∶1＿___;如果就是并联起来接电源充电，则它们得电场能量之比 W 1∶W 2 =__＿___1∶2_＿＿___. 解:串联，Q 相同，由,有 = ２∶1并联，U 相同,由，有 = １∶215-1６ 如图所示,用力Ｆ把电容器中得电介质板抽出,在图(a ）与图（b ）中得两种情况下,电容器储存得静电能量将 ［ D ］（A ） 都增加; (B) 都减小; （C) （a)增加,（b)减小； (D ） (a)减小,（b)增加。