高等代数第一单元测试题一、单项选择题1.设)()(),(),(x F x p x g x f ∈, 且)(x p 在F 上不可约，如果)()()(x g x f x p ，则 ( ) A 、)()(x f x p 且)()(x g x p B 、)()(x f x p 但p(x ) g (x ) C 、p (x ) f (x ) 且p (x )g (x ) D 、)()(x f x p 或)()(x g x p2.下列关于多项式整除的说法正确的是( )A 、任何多项式都不整除零多项式B 、零多项式与任何多项式都互素C 、零次多项式与任何多项式都互素D 、零次多项式与零次多项式不互素3.下列关于多项式的说法中不正确的是 （ ）A 、若1)()()()(=+x g x v x f x u ，则()(),(x v x u )＝1 B 、若)(),(x g x f 都与)(x h 互素，则()(),()(x h x g x f )＝1C 、任一多项式)(x f 都与零多项式互素 D 、任意两个零次多项式都互素4.设)()(),(),(x F x h x g x f ∈，如果)()(x f x h ，则 （ ）A 、[])()()(x g x f x h ＋ B 、[])()()(x g x f x h － C 、)()()(x g x f x h D 、)()(x g x h 5.设)(x f ，)(x g 是有理数域Q 上的两个互素多项式，下列说法正确的是( )A 、)(x f 与)(x g 在实数域上也互素 B 、)(x f 与)(x g 在实数域上不互素 C 、)(x f 与)(x g 在复数域上不互素 D 、)(x f 与)(x g 在任一数域F (≠Q)上都不互素 6. 若][)(),(),(x R x h x g x f ∈，且)()()(2122122x h x x g x x f s n m l k +++=，其中+∈Z s m n l k ,,,,，则下列结论成立的是（ ）A 、0)(,0)()(=≠=x h x g x f B 、 0)(,0)(,0)(≠≠=x h x g x f C 、0)()()(===x h x g x f D 、 不能确定 7. 已知a x x t x x f 24)1()(23++++=，a tx x x g 2)(23++=的最大公因式是二次多项式， 则a t ,的值分别为（ ）A 、0,4- B 、 0,4 C 、 4,0 D 、 4,0-8. 若1),(=g f ，下列结论成立的是（ ）A 、1),(=+g f fB 、1),(=+g f gC 、1),(=+g f fgD 、 以上结论都正确9. 下列关于多项式根的说法正确的是（ ）A 、 任何多项式在复数域中至少有一个根B 、 任何数域F 上的一个()0>n n 次多项式)(x f 在F 中至少有一个根C 、 任何方程在复数域中至少有一个根D 、 任何()0>n n 次多项式在复数域中至少有一个根10. 设S 是数环，则下列说法错误的是（ ）。
A 、S 必包含数0 B 、 S 必包含数1 C 、 S 必关于加法、乘法封闭 D 、 S 一定是复数集的子集11.下列关于多项式的4个充要条件中， （ ）是正确的 A 、 整系数多项式)(x f 在有理数域上不可约的充要条件是)(x f 满足艾森施坦因条件 B 、 不可约多项式)(x p 是)('x f 的1-k 重因式的充要条件是)(x p 是)(x f 的k 重因式 C 、 )())(),((x d x g x f =的充要条件是：等式)()()()()(x d x v x g x u x f =+成立D 、)(x f 与)(x g 互素的充要条件是：等式1)()()()(=+x v x g x u x f 成立 12.下列关于多项式的结论正确的是（ ）A 、 多项式的根与所论数域无关B 、 多项式的整除性与所论数域无关C 、 多项式的公因式与所论数域无关D 、 多项式的可约性与所论数域无关13. 满足2)5(,0)4(,1)3(,3)2(==-==f f f f 的三次多项式为（ ） A 、)252203514(61)(23+-+-=x x x x f B 、 252203514)(23+-+-=x x x x f C 、 )252203514(6)(23+-+-=x x x x f D 、 )252203514(31)(23-+--=x x x x f 14.若)(x g ,)(x f 都是多项式环][x F 中的非零多项式, 且)(|)(x f x g , 则)(x g 与)(x f 之间的次数关系是( )A 、))((x f ∂≥))((x g ∂ B 、 ))((x f ∂<))((x g ∂ C 、 ))((x f ∂>))((x g ∂ D 、 以上结论都不对.15. 若)(x g |)(x f , 且)())(),((x d x g x f =， 则)(x d 为( ) A 、)(1x f c B 、 )(x cf C 、 )(x f D 、 )0)((P c x cg ∈≠. 16.若)(x f 为零次多项式，则下列说法正确的是 （ ）A 、)(x f 的系数全为零 B 、)(x f 等于零 C 、)(x f 的次数不等于零D 、)(x f 能整除任一多项式 17.设)(x p 为数域p 上的不可约多项式，则 （ ）A 、在数域p 上)(x p 可以分解为两个次数比)(x p 低的多项式的乘积 B 、在数域p 上)(x p 不能分解为两个次数比)(x p 低的多项式的乘积 C 、)(x p 不能被数域p 上的任何因式整除 D 、)(x p 一定为数域p 上的一次因式 18.设f(x),g(x),h(x)∈F[x]，则下列结论正确的是 。
A 、 若f(x)|g(x)+h(x), 则f(x)|g(x)或f(x)|h(x)B 、 若f(x)|g(x), f(x)|h(x), 则f(x)|g(x)+h(x);C 、 若f(x)不整除g(x)，f(x)不整除h(x), 则f(x)不整除g(x)+h(x)D 、 若f(x)不整除g(x)+h(x), 则f(x)|h(x), f(x)不整除g(x)19.设s p p p ,,,21 是s 个互不相同的素数，那么多项式)2()(21≥-=n p p p x x f s n 在有理数域上（）A 、不可约B 、 可约C 、不一定可约D 、A 、B 、C 、都不成立20.下列关于多项式的说法中正确的是( )A 、零多项式整除任意多项式B 、零多项式不整除零多项式C 、零多项式整除零多项式D 、零多项式的次数为零二、填空题1.以2＋i 为根的次数最低的实系数多项式为_____________2.多项式)(x f 无重因式的充要条件是3.多项式1415623-+-x x x的有理根是______________ 4.)(|)(22x f x g ，当且仅当 5.___,))(),((,2)()()()(],[)(),(),(),(==+∈x g x f x g x v x f x u x F x v x u x g x f 则若 ._____))(),((=x v x u6. 多项式)(x f 除以)0(P a b ax ∈≠-所得余式为 .7.奇次实系数多项式至少有 个实根.8.实数域上的不可约多项式只有 和 .9.复数域上的不可约多项式只有 .10. )1(≥nn 次复系数多项式在复数域上根的个数的取值范围为 .三、判断正误，正确的给出简单证明，错的举出反例1.多项式)()(x g x f +的次数等于)(x f 的次数与)(x g 的次数的和.2.所有多项式的次数都是一定的.3.两个数环的并也是数环 .4. 设)(),(x f x p 为F 上的多项式，且)(x p 不可约.若)(x p 为)('x f 的1-k 重因式,则)(x p 必为)(x f 的k 重因式.5.不存在含有有限个数的数域.6.若)(),()(|)(x p x g x f x p 在F 上不可约，且)]()([|)(x g x f x p +则)(|)(x f x p 且).(|)(x g x p 7.有理数域上任意次不可约多项式都存在. （ ）8.整体互素一定两两互素.9.若等式=)(x d )()()()(x g x v x f x u +成立，则).())(),((x d x g x f = 10.},2{Q b a b a P ∈+=是一数域.11．设01)(a x a x a x f n +++= 是整系数多项式，b x =是)(x f 的整数根，则0a b . 12.若)()1(n x f x -,则)()1(n n x f x -.四、计算题1. 求多项式1415623-+-x x x 的有理根。
2. 令F 是有理数域。
求][x F 的多项式343)(234---+=x x x x x f ， 32103)(23-++=x x x x g 的最大公因式。
3. 已知多项式)(x f 除以2+x 的余数为1, 除以3+x 的余数为-1,求多项式)(x f 除以)3)(2(++x x 的余式.4.求以2与-6为单根,4为二重根的 4次多项式.五、证明题1.设)(),(),(x h x g x f 都是实数域上多项式. 证明，如果)()()(222x xh x xg x f +=，那么0)()()(===x h x g x f .2.证明 若()(),(x g x f )＝1，则()()(),()(x g x f x g x f +)＝1. 3. 设][)(x P x f ∈, 若对,,P b a ∈∀ 都有)()()(b f a f b a f +=+, 则)()(P k kx x f ∈=.4. 设][)(x R x f ∈, 若对,,R b a ∈∀ 都有)()()(b f a f b a f =+, 则0)(=x f 或1)(=x f .5. 证明：数域F 上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根.6. 设)(x f 是一个整系数多项式，证明：若是)0(f 和)1(f 都是奇数，那么)(x f 不能有整数根。
7. 若)]()()()([)1(5453522513234x f x xf x f x x f x x x x x +++++++，这里)(),(),(),(4321x f x f x f x f 为使实系数多项式，求证：4,3,2,1,0)1(==i f i .8. 数域F 上的一个n 次多项式)(x f 能被它的导数整除的充分必要条件是n b x a x f )()(-=，这里b a ,是F 中的数。