解析几何专题二
1、已知点P (3，－4)是双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)渐近线上的一点，E ，F 是左、右两个焦点，若EP →·FP →
＝0，
则双曲线方程为( )
A.x 23－y 24＝1
B.x 24－y 23＝1
C.x 29－y 216＝1
D.x 216－y 2
9
＝1
2、已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是x y 4±=，则该双曲线的离心率为（ 17 ）．
【解析】因为焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是x y 4±=，所以17,17,42
2===e a c a b
3、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲
线的离心率为
2
5
1+ . 【解析】因为直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，所以
2
1
5,1)(+=-=-⨯e c
b
a b 4、若双曲线)0(12222>>=-b a b
y a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线2
2y bx = 的焦点分成5
:7的两段，则此双曲线的离心率为（ C ）
A ．
9
8
B ．
37
37
C ．
32
4
D 310
【解析】因为线段21F F 被抛物线2
2y bx = 的焦点分成5:7的两段，所以
4
23,4036,436,622222====e c a c b c b 5、 已知F 是椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆22
214
x y b +=相切
于点Q ，且→
→
=QF PQ ，则椭圆C 的离心率为
3
5
． 提示：设左焦点E ，连接PE ，由圆的切线可得OQ ⊥PF ，而OQ ∥PF ，故PF PE ⊥,2
2
2
4)2(c b a b =-+∴，
3
5=
∴e 。
6、 以椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左焦点(,0)F c -为圆心，c 为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该
椭圆的离心率的取值范围是 2
(
,1)2
． 提示：焦准距c b <c
2
7、已知12,F F 分别是双曲线22221y x a b
-=的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，若2
21PF PF 的最小值为8a ，则
双曲线的离心率的取值范围为 (1,3] .
提示：()2
22121111
+4=8PF a PF a PF a PF PF PF =+≥，故a c a PF -≥=21
8、 已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直
线与双曲线交于A 、B 两点，△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞)
B ．(1,2)
C ．(1,1＋2)
D ．(2,1＋2)
9、设圆C 的圆心为双曲线x 2a 2－y 2
2
＝1(a >0)的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C 被直线l ：x －3y ＝0截
得的弦长等于2，则a 的值为( )
A. 2
B. 3 C ．2 D ．3
10、 已知椭圆 22122
:
1x y C a b +=（0a b >>）与双曲线 2
2
2:14
y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点.若1C 恰好将线段AB 三等分，则2b =__________________.
答：12
提示：直线AB 为x y 2=代入椭圆求弦长MN=
3a ，再用52
2+=b a 可得2
12=b 11、下图展示了一个由区间（0，k ）（其k 为一正实数)到实数集R 上的映射过程：区间（0，k ）中的实数m 对
应线段AB 上的点M ，如图1;将线段AB 围成一个离心率为
3
2
的椭圆，使两端点A 、B 恰好重合于椭圆的一个短轴端点，如图2 ；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在X 轴上，已知此时点A 的坐标为（0，1)，如图3，在图形变化过程中，图1中线段AM 的长度对应于图3中的椭圆弧ADM 的长度.图3中直线AM 与直线y= -2交于点N(n,—2)，则与实数m 对应的实数就是n ，记作f(m)=n,
现给出下列命题：①.；②是奇函数；③在定义域上单调递增；④.的图象关于点(，0)对称；
⑤f(m)=
时AM 过椭圆右焦点.
其中所有的真命题是____③、④、⑤___ (写出所有真命题的序号）
例1、已知ABC ∆中，点A 、B 的坐标分别为(2,0),(2,0)B -，点C 在x 轴上方。
（1）若点C 坐标为(2,1)，求以A 、B 为焦点且经过点C 的椭圆的方程；（2）过点P （m ，0）作倾角为3
4
π的直线l 交（1）中曲线于M 、N 两点，若点Q （1，0）恰在以线段MN 为直径的圆上，求实数m 的值。
【解析】（Ⅰ）设椭圆方程为22221x y a b +=，c= 2 ,2a=4AC BC +=,b= 2 椭圆方程为
22
142
x y +=5分
即212121(1)()20m m x x x x +-+++=，2
219
3450,3
m m m ±--==
解得． 例2、已知抛物线2
2y px =上任一点到焦点的距离比到y 轴距离大1。
（1）求抛物线的方程；
（2）设A ，B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M （4，0），求MAB ∆的面积的最大值。
例3、如图，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形F 1B 1F 2B 2是一个面积为8的正方形(记为Q ).
(I)求椭圆C 的方程；
(II )设点P 是椭圆C 的左准线与X 轴的交点，过点P 的直线L 与椭圆C
相交于M,N 两点、.当线段MN 的中点G 落在正方形Q 内(包括边界）
时，求直线L 的斜率的取值范围.
例4、已知椭圆C 的中心在原点，左焦点为(3,0)-，离心率为
2
3
．设直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，记点P 在第一象限时直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为B A 、，且向量OM OA OB =+.求：（I ）椭圆C 的方程；（II ）||OM 的最小值及此时直线l 的方程
【解析】(Ⅰ)由题意可知3=c ，2
3==
a c e ，所以2=a ，于是12
=b ，由于焦点在x 轴上，故C 椭圆的方程为2
214
x y +=……5分 （Ⅱ）设直线l 的方程为：m kx y +=)0(<k ，),0(),0,(m B k m A -⎪⎩⎪
⎨⎧=++=,
14
,
2
2y x m kx y 消去y 得：
012)4
1
(222=-+++m kmx x k …7分直线l 与曲线C 有且只有一个公共点， 0)1)(41(42222=-+-=∆m k m k 即1422+=k m ① 9分∵OM +=
2
2
2||m k
m OM +=∴②…11分将①式代入②得：1||3OM == 当且仅当2
2
-=k 时，等号成立，故min ||3OM =，此时直线方程为：03222=-+y x .14分。