高考数学排列组合难题解决方法
1. 分类计数原理（加法原理）
完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：
N = mi + m2 j + m n
种不同的方法.
2. 分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：
N = mi江m2汇川X m n
种不同的方法.
3. 分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件.
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：
1. 认真审题弄清要做什么事
2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进
行,确定分多少步及多少类。
3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
一.特殊元素和特殊位置优先策略
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有
然后排首位共有
最后排其它位置共有
由分步计数原理得
练习题:7种不同的花种在排成一列的xx，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的xx，问有多少不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有种不同的排法
练习题1.用1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 5在两个奇数之间，这样的五位数有多少个？
解：把1，5，2，4当作一个小集团与3排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有种排法.
1524
2.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行
XX,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有XX 方式的种数为
3. 5男生和5女生站成一排照像，男生相邻，女生也相邻的排法有种
三.不相邻问题插空策略
例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法，由分步计数原理,节目的不同顺序共有种
练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解：
（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗？
（插入法）先排甲乙丙三个人，共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法
高中数学排列组合难题十一种方法
马路上有编号为123,4,5,6,7,8,9 的九只路灯，现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏，求满足条件的关
灯方法有多少种？
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有种
练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）
练习题:10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
五.重排问题求幕策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法
解：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推，由分步计数原理共有种不同的排法
练习题：
1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个
新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为42
2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法
练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈
120
六. 多排问题直排策略 例6.8人排成前后两排，每排4人,其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少 排法
解：8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊
元素有种,再排后4个位置上的特殊元素丙有种，其余的5人在5个位 置
上任意排列有种，则共有种
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七. 排列组合混合问题先选后排策略
例7.有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有 多少不同的装法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个元素（包 含
一个复合元素）装入4个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理
装球的方法共有
练习题：一个班有6名战士 ,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不 同
的任务,每人完成一种任务，且正副班长有且只有1人参加,则不同 的选
法有192种
八. 元素相同问题隔板策略
例8.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方 案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
相邻名额之间形成9个空隙。
在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7
个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。
olo ololo ololo olo
练习题：
1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？
九.正难则反总体淘汰策略
例9.从0,123,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为不小
于10的偶数,不同的
取法有多少种？
解:这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难，可用总体淘汰法。
这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有, 只含有1个偶数的取法有，和为偶数的取法共有。
再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有
练习题：我们班里有43位同学，从中任抽5 人,正、畐U班长、团支部书
记至少有一人在内的
抽法有多少种？
十.合理分类与分步策略
例10.在一次演唱会xx10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少选派方法
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。
选上唱歌人员为标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种，只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员种，只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种，由分类计数
原理共有
种。
练习题：
1. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有
男生又有女生，则不同的选法共有34
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,2号船最多乘2人,3号船只能乘1人，他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船，这3人共
有多少乘船方法.（27）
本题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准
*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准
*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准
都可经得到正确结果
练习题：
1.同一寝室4人，每人写一张xx集中起来,然后每人各拿一张别人的xx，则四张xx不同的分配方式有多少种？（9）
2. 由0, 1, 2, 3, 4, 5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105 大的数？
解：
例1学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12xx。
8个学生，4 个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？
分析此题涉及到的是不相邻问题，并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.
解先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有种选法.根据乘法原理，共有的不同坐法为种.
插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起，有多少种不同的排法？
分析此题涉及到的是排队问题，对于女生有特殊的限制，因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻，因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.
因为女生要排在一起，所以可以将3个女生看成是一个人，与5个男生作全排列,有种排法,其中女生内部也有种排法,根据乘法原理，共有种不同的排法.
捆绑法：要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列.
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学生分会，每班要求至少1人，名额分配方案有多少种？
小结此题若直接去考虑的话，就会比较复杂•但如果我们将其转换为等价的其他问题，就会显得比较清楚，方法简单,结果容易理解.
此题可以转化为：将12个相同的白球分成8份，有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排，在11个空档中放上7个相同的黑球，每个空档最多放一个，即可将白球分成8份,显然有种不同的放法，所以名额分配方案有种.
转化法（插拔法）：对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想，将其化归为简单的、具体的问题来求解.。