复习题A、判断正误1、若a b b c 且b 0 ,则a c;()解析 a b b c = b (a c) =0 时, 不能判定b0或a c . 例如ai , b j ,k ，有 a b b c 0 , 但a c .cM * 2、 右ab bc 且 b 0 ,则a c ;()解析 此结论不一定成立.例如a i,b j , c(i j), 则b i j k ,bc j [ (i j)]k , a b b c , 但ac .3、若 a c 0 ,则a 0或c 0 ;()两个相互垂直的非零向量点积也为零.解析二、选择题：当a 与b 满足（D ）时，有a b解析只有当a 与b 方向相同时，才有 a + b=a+b .解析 对于曲面z 1 x 2 2 y 2，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆， 垂直于x 轴或y 轴 的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面.4、 a解析 b b a .这是叉积运算规律中的反交换律. (A) a b ；（B ） a b （为常数）;(C)// b ; (D) a||b .(A)中a , b 夹角不为0, (B),（C ）中a , b 方向可以相同，也可以相反.2、下列平面方程中，方程（C ） 过y 轴; (A) x y z 1 ;(B) x(C) x z 0;(D)解析平面方程Ax By Cz 0若过 y 轴，则B D 0,故选C.3、在空间直角坐标系中，方程 1 x 22y 2所表示的曲面是（B ）；（A ）椭球面；（B ） 椭圆抛物面;(C)椭圆柱面；（D ） 单叶双曲面.25、直线x 1 yz 1与平面x y z 1的位置关系是（B ）.2 11（A ）垂直；（B ） 平行；（C ）n夹角为一；（D ）夹角为n44解析直线的方向向量s ={2 ,1,-1}, 平面的法向量 n ={1 , -1 , 1},s n =2-1-1=0 ,所以，s 丄n ，直线与平面平行.三、填空题：所以，与平面垂直的单位向量为3、过点（3,1, 2）和（3,0,5）且平行于x 轴的平面方程为 7y z 5 0 ；解 已知平面平行于 x 轴，则平面方程可设为 By Cz D 0,将点（-3 , 1, -2）4、空间曲线2'在xOy 面上的投影方程为（C ）；(A) x 2 y27； (B)7； (C)7； (D)解析 2 2曲线x yz 57与xOy 平面平行，在xOy 面上的投影方程为x 2 y 2 7z 01、 若a|ba b sin(a$) = . 2 sin n = 2 , a ba b cos(a$) = , 2 cos^o.2、 与平面x y 2z 6 0垂直的单位向量为平面的法向量 n ={1， -1，2}与平面垂直，其单位向量为：n =/和（3 ,0,5）代入方程，有 B 2C D5C D 0,0,B CD,得D,7 , Dy 5 -Dz D 0, 5即7y z 5 0.4、过原点且垂直于平面2y z2 0的直线为 xy z ；2解 直线与平面垂直，则与平面的法向量n =｛0,2,-1｝平行，取直线方向向量s = n =｛0 ,2,-1｝，由于直线过原点，所以直线方程为- 1 z 0 2曲线方程.四、解答题:2、已知向量RP 2的始点为R （2, 2,5），终点为P 2（ 1,4,7），试求：（1）向量RR 的坐标表示；（2）向量RF 2的模；（3）向量RP 2的方向余弦；（4）与向量P 1P 2方向一致的单位5、曲线Z 2x 2z 12y ,在xOy 平面上的投影曲线方程为2 2 ,2x y 1, z 0.解：投影柱面为2x 2y 2 1，故2x 2z 01'为空间曲线在xOy 平面上的投影1、 已知{1, 2,1},｛1,1,2｝，计算⑻;(b)(2a b) (a b) ； (c)解：a b = 12 1{ 5, 1,3}.1 12(b)2a b {2, 4,2} {1,1 2} {1, 5,0},所以（2ab) (a b) {1, 5,0} {2, 1,3} 7 .(c)a b {1, 2,1} {1,1,2} {0,3, {1, 2,1} {1,1,2} {2, 1,3},a b 2 W'9 1)210 ijk1｝，所以 a b b ；故与a 、b 都垂直的单位向量为求向量d5、求满足下列条件的平面方程:(1)过三点 R(0,1,2) , P 2(1,2,1)和 P 3(3,0,4) ； (2)过 x 轴且与平面-5xx 0 y 1 z 2用三点式.所求平面的方程为1 02 1 1 2 0 ,即3 0 0 14 2解 （1）解1 :向量.(1)P i PP { 1 2,4(2),7 5} { 3,6,2}⑵PP 2.（3）2 62 22.49cos3、 P i P 2x,y,z 的方向余弦分别|,cos6,cos(P 1P 2)PP 23i 2k3. i 72k .7设向量1, 1,1 ， b1,1, 1 ，求与a 和b 都垂直的单位向量•解：令c°,2,2 , c °1c1 1 °\2 \2，4、向量d 垂直于向量a[2,3, 1]和b [1, 2,3]，且与 c [2, 1,1]的数量积为解：d 垂直于a 与b ，故d 平行于ab ，存在数使[2,3, 1] [1, 2,3] [7 , 7,7]因 d c 6，故 2 7( 1) ( 7 ) 137d [ 3,3,3].2y z 0的夹x 5y 4z 13 0.x 5y z Q6、一平面过直线且与平面x 4y 8z 12 0垂直，求该平面方程;x z 4 0x 5y 4z 13 0.解2: 量为用点法式.P 1P 2{1,1, 1},PB {3, 1,2}，由题设知，所求平面的法向n P 1P2R Bi j k 1 1 1 i 5j 4k ,31 2又因为平面过点R(0,1,2)，所以所求平面方程为(x 0) 5(y 1) 4( z 2) 0,即解3: 用下面的方法求出所求平面的法向量n {A,B,C},再根据点法式公式写出平面万程也可.因为 n RP 2,n P 1P 3，所以 3A平面方程为2C °0解得B 5A,C 4A ，于是所求A(x 0) 5A(y 1) 4A(z 2) 0,即 x 5y 4z 13 0.(2)因所求平面过x 轴，故该平面的法向量 n {A, B,C}垂直于x 轴，n 在x 轴上的投影A 0,又平面过原点，所以可设它的方程为 By Cz 0，由题设可知B 0 (因为B 0时，所求平面方程为 Cz 0又C0 ,即z 0 .这样它与已知平面5x 2y z 0所夹锐角的余弦为0 V5 0 2 1 102 02 12 . (. 5)2 22 12n 1Ccos ——，所以 B 0 )，令一 3 2 BC ，则有 y Cz 0，由题设得0 <5 1 2 C 1cos —J _ = 302 12 c 2.( 5)2 22 12解得C 3或C1，于是所求平面方程为3y 3z 0 或 3y z 0.x 5y z 0, 4解法1 : 直线在平面上，令X =0,得y , z=4,则(0, x z 4 0 54)为平面上的点.设所求平面的法向量为n ={ A, B, C}，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即解方程组解法2：用平面束(略)直线方程•式方程，所求直线方程为x 4z 23 02x y 5z 33 0n i={l ,5 , 1}, n2 ={1, 0, -1}，则直线的方向向量s = n1 n?=={-5 , 2,-5} ，由于所s n ={-5 ,2, -5} ? {A,B,C}= 5A 2B 5C =0,因为所求平面与平面x 4y8z 12 0垂直，则{A, B,C} {1, 4, 8}=A 4B 8C =0,所求平面方程为5AA2B4B5C8C2C,2C52C(x 0) ^(y4) C(z5 4) 0,即4x 5y 2z 12 0.7、求既与两平面14z 3和2：2x y 5z 1的交线平行，又过点(3,2,5)的解法1: n11,0, 2, 1, 5 , s 3, 1 ,从而根据点向解法2：设s m, n, p ，因为s n1，所以m 4p 0 ；又s n2，则2m n 5p 0,可解m4p,n 3p，从而p 0 .根据点向式方程，所求直线方程为解法x 34p口◎，即2LJ3p p 43:设平面3过点(3,2,5)，且平行于平面则n3n11,0, 4为3的法向量，从而3的方程为1 (x 3) 0 (y 2) 4 (z 5) 4z 23 0 .同理, 过已知点且平行于平面2的平面4的方程为2x y 5z 33 0 •故所求直线的方程为相交，求该直线方程;又因为直线过点A(1,2,1)，则所求直线方程为可得m p ，代入③解得n9、指出下列方程表示的图形名称：⑻ x 2 4y 2 z 21 ； (b)x 2 y 2 (d) x 2y 2 0 ； (e) x 2 y 21 ； 解：(a)绕y 轴旋转的旋转椭球面. 的锥面.(d)母线平行于z 轴的两垂直平面：x (f)旋转抛物面被平行于 XOY 面的平面所截得到的圆，半径为 2 ,圆心在(0, 0, 2)处.2x 所以柱面与xOy 平面的交线C : z y 1所围成的区域x 2 y 21即为曲面解： 设所求直线的方向向量为s {m,n, p}，因垂直于 所以3m 2nx 1 m,，则有 y 2 n,代入方程②有1m 2n, m 1 p,z 1p,10、2 2 2求曲面z x y 与z 2 (x)所围立体在xOy 平面上的投影并作其图形.将所给曲面方程联立消去z就得到两曲面交线C 的投影柱面的方程一直线通过点 A(1,2,1),且垂直于直线L :x 1 ~3~,又和直线xx 1 y 2z 1J① m n px y z,②3m2n p 0 , ③由①，令x 1y 2 z 1mnp2z；(c) zx 22y ；22(f)z xyz 2(b) 绕z 轴旋转的旋转抛物面.(c) 绕z 轴旋转y ,xy . (e) 母线平行于 z 轴的双曲柱面.2p ，因此，所求直线方程为2 2 2 2z x y与z 2 (x y )所围立体在xOy平面上的投影(图略).1、设a解：A(a 2b) (a3a b 2a2、设（a复习题B（细-，求以a 2b和a 3b为邻边的平行四边形的面积3b)3b) (7a 5b),解：由已知可得：（a 3b）15b216a b 0,这可看成是含三个变量3、求与a解由于5a(a(7aa 3ab 2b a 6b b4b)5b)5a8b{1, 2,3} { , 24、已知a解法由①得z| |bsin($b) 5 4 3(7a 2b)，求(？,b).0, (a 4b) (7a 2b)230a b 0.、b及a b的方程组，可将a、b都用a J2a b，从而cos(£b)a b a ba |b 2a b2，(?'b) {1, 2,3}共线，且a b 28的向量b .b与a共线，所以可设b,3 } 28 ,28，所以{1,0, 2}, b1：待定系数法•设x2④，由②得y,2 ,3 },2，从而b {2,{1,1,0}，求c，使4,6}.c a, cc {x, y, z}，则由题设知cx 2z 0x y 0x2y2z2 6x⑤，将④和⑤代入③得-30.2b表示，即28 ,得6.a 0, cb 0 及c2x2( x)2 26，所以6，解得x 4,y4,z2，于是 c{4, 4,2} 或c { 4,4, 2}.解法2:利用向量白 勺垂直平行条件，因为c a,c b , 所以c // a b设 是不为零的常数，则i jkc(a b) 1 0 22 i 2 jk ,1 1因为c :6 ，所以卡■' 2[22 ( 2)212] 6 ,解得2，所以c{4, 4,2}或c { 4,4, 2}.解法3:先求出与向量ab 方向一致的单位向量，然后乘以6 .i j ka b1 0 22i 2j k ,a bJ 22 ( 2)2 123,1 1 0故与a b 方向一致的单位向量为1f{2, 2,1}.于是 c 6{2, 2,1}，即 c {4, 4,2}或 3c { 4,4, 2}.22R 25、求曲线x y R 的参数式方程.x y z 0解：曲线参数式方程是把曲线上任一点P(x, y,z)的坐标x, y, z 都用同一变量即参数表示出来，故可令 x R cost, y Rsi nt ,贝 U z R(cost si nt).2y在xOy 面上及在zOx 面上的投影曲线的方程.2x 解：求L 在xOy 面上的投影的方程，即由L 的两个方程将z消去，即得L 关于xOy 面 的投影柱面的方程x 2 y 2 2x 则L 在xOy 面上的投影曲线的方程为6、求曲线L: z 4 X 22 2x y2小y 2x z 0同理求L 在zOx 面上的投影的方程，即由 L 的两个方程消去y ，得L 关于 zOx 面的投影柱 面的方程z ,4 2x ，则L 在zOx 面上的投影曲线方程为z 4 2x7、已知平面 过点M °(1,0, 1)和直线L 1: — 2_y ~1三」，求平面1的方程.解法1: 设平面的法向量为n，直线L1的方向向量s, (2,0,1)，由题意可知n s1,uLuiun uuuuurM (2,1,1)是直线L i上的一点，则M°M (1,1,2)在上，所以n MM。