2013西城高三期末理科数学含答案北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B =U （ ） （A ）1(0,)2 （B ）(1,1)- （C ）1(,1)(,)2-∞-+∞U （D ）(,1)(0,)-∞-+∞U 2．在复平面内，复数5i 2i-的对应点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）sin 1=ρθ （B ）sin 3=ρθ（C ）cos 1=ρθ （D ）cos 3=ρθ4① 处可以填入（ ）（A ）2k < （B ）3k < （C ）4k < （D ）5k <5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（ ）（A ）416(,)55 （B ）4(,16)5 （C ）(1,16) （D ）16(,4)57．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ） （A ）5（B ）6 （C ）7（D ）428．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ）（A ）221 （B ）463 （C ）121 （D ）263二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = _____10．如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，3AC =， 4BC =．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则BD =；CD =______．11．设等比数列{}na 的各项均为正数，其前n 项和为nS ． 若11a=，34a=，63kS=，则k =______．12．已知椭圆22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12PF F 的面积是______．13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2xf x =； ②()sin f x x =； ③3()f x xx=-．其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 321cos 2B B=-．（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若2BC =，4A π=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E为棱PD的中点．（Ⅰ）求证：PB// 平面EAC；（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅲ）求二面角B-的余弦值．E-AC17．（本小题满分13分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试[70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]指标元件A 81240328元件B 71840296（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．18．（本小题满分13分）已知函数2()x f x x b =+，其中b ∈R ．（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0b >．若13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线24y x=的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，交于22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线点M ，N ． （Ⅰ）求12y y 的值；斜率（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的为2k .证明：12k k 为定值．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n =L 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ija∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()ir A 为A 的第i 行各数之积，()jc A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni ji j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =；（Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由； （Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准 2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．D； 2．B； 3．A； 4．C； 5．C； 6．B；7．C； 8．B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1-； 10．165，125； 11．6； 122； 13．1[,1]2-，[,]62ππ； 14．①③．注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解法一：因为321cos2B B=-，所以223cos2sinB B B=．………………3分因为0B<<π，所以sin0B>，从而tan3B=………………5分所以π3B=．………………6分解法二： 依题意得32cos 21B B +=，所以 2sin(2)16B π+=， 即1sin(2)62B π+=．………………3分因为0B <<π， 所以132666B πππ<+<，所以5266B ππ+=．………………5分所以π3B =．………………6分（Ⅱ）解法一：因为 4A π=，π3B =， 根据正弦定理得 sin sin AC BCB A=， ……………7分所以sin 6sin BC BAC A⋅==． ………………8分因为512C A B π=π--=， ………………9分所以yz E PD562sin sinsin()1246C πππ+==+=， (11)分所以 △ABC的面积133sin 22S AC BC C +=⋅=． (13)分解法二：因为 4A π=，π3B =， 根据正弦定理得 sin sin AC BC B A=， ……………7分所以sin 6sin BC BAC A⋅==． ………………8分根据余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B=+-⋅⋅， ………………9分化简为 2220AB AB --=，解得 13AB =+ ………………11分 所以△ABC的面积133sin 2S AB BC B +=⋅=． (13)分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点．因为 E 为棱PD 中点． 所以 EO PB //． ………………3分 因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ，所以直线PB //平面EAC ． ………………4分（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC，所以CDPA ⊥． ………………5分 因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥， 所以⊥CD 平面PAD． ………………7分所以平面PAD⊥平面ABCD． (8)分（Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以Dz ⊥平面ABCD ． 由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． …………9分设4AB =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ．所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ． 设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r n n 所以⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得(1,1,3)=n ． ………………11分z NMOEP C BADx 易知平面ABCD的法向量为(0,0,1)=v ． ………………12分 所以||311|cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角BAC E --的余弦值为11113-． ………………14分解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN ． 因为ABCD 为正方形，所以CD MN //． 由（Ⅱ）可得⊥MN 平面PAD ． 因为PD PA =，所以⊥PM AD ．由,,MP MA MN 两两垂直，建立如图所示 的空间直角坐标系xyz M -． ………………9分设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---． 所以 )1,0,3(-=，)0,4,4(-=． 设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r n n 所以⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得=n )3,1,1(． ………………11分 易知平面ABCD的法向量为=v )1,0,0(． ………………12分所以||311|cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角BAC E --的余弦值为11113-． ………………14分17．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：元件A 为正品的概率约为4032841005++=． ………………1分 元件B为正品的概率约为4029631004++=． ………………2分（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量X的所有取值为90,45,30,15-． ………………3分433(90)545P X ==⨯=； 133(45)5420P X ==⨯=； 411(30)545P X ==⨯=；111(15)5420P X =-=⨯=． ………………7分所以，随机变量X 的分布列为:X90453015-P3532015120……………8分3311904530(15)66520520EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=． ………………9分（ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n -件.依题意，得 5010(5)140n n --≥， 解得 196n ≥． 所以4n =，或5n =． ………………11分设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ，则445531381()C ()()444128P A =⨯+=． ………………13分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：① 当0b =时，1()f x x=． 故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． ………………1分②当b >时，222()()b x f x x b -'=+． ………………3分令()0f x '=，得1x b =2x b =- ()f x 和()f x '的情况如下： x (,)b -∞- b - (,)b b - b(,)b +∞()f x ' - 0 + 0 -()f x ↘ ↗↘故()f x 的单调减区间为(,)b -∞，(,)b +∞；单调增区间为(,)b b ．……………5分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|}D x x b =∈≠-R ．因为222()0()b x f x x b -'=<+在D 上恒成立，故()f x 的单调减区间为(,b -∞-，(,b b --，,)b -+∞；无单调增区间．……………7分（Ⅱ）解：因为0b >，13[,]44x ∈， 所以()1f x ≥ 等价于2b x x≤-+，其中13[,]44x ∈． ………………9分设2()g x x x=-+，()g x 在区间13[,]44上的最大值为11()24g =．………………11分则“13[,]44x ∃∈，使得 2b xx≤-+”等价于14b ≤． 所以，b的取值范围是1(0,]4． (13)分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，设直线AB的方程为2x my =+． ………………1分 将其代入24y x=，消去x，整理得2480y my --=． ………………4分从而128y y =-．………………5分（Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．则221234341121222234123123444444y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=⨯=⨯=---+-． ………………7分设直线AM 的方程为1x ny =+，将其代入24y x=，消去x ，整理得2440y ny --=． ………………9分所以 134y y =-． ………………10分同理可得 244y y=-． (11)分故112121223412444k y y y y y y k y y y y ++===--+-+． ………………13分由（Ⅰ）得122k k =，为定值． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．1- 1- 1- 1- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1………………3分 （Ⅱ）解：不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………4分 证明如下：假设存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =．因为(){1,1}ir A ∈-，(){1,1}jc A ∈- (19,19)i j ≤≤≤≤，所以1()r A ，2()r A ，L ，9()r A ，1()c A ，2()c A ，L ，9()c A 这18个数中有9个1，9个1-．令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L ．一方面，由于这18个数中有9个1，9个1-，从而9(1)1M =-=-． ①另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋅⋅L 表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；129()()()c A c A c A ⋅⋅⋅L 也表示m ， 从而21M m ==． ②①、②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………8分（Ⅲ）解：记这2n 个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有12()()()np r A r A r A =⋅⋅⋅L ；另一方面，从“列”的角度看，有12()()()np c A c A c A =⋅⋅⋅L ．从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅L L ． ③ ………………10分注意到(){1,1}ir A ∈-，(){1,1}jc A ∈- (1,1)i n j n ≤≤≤≤．下面考虑1()r A ，2()r A ，L ，()nr A ，1()c A ，2()c A ，L ，()nc A 中1-的个数：由③知，上述2n 个实数中，1-的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤；则1的个数为22n k -，所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-． (12)分对数表0A ：1ija=(,1,2,3,,)i j n =L ，显然0()2l A n =．将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l A n =-．将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-．依此类推，将数表1k A -中的kka 由1变为1-，得到数表kA ． 即数表kA 满足：11221(1)kk aa a k n ====-≤≤L ，其余1ija=．所以 12()()()1k r A r A r A ====-L，12()()()1k c A c A c A ====-L．所以()2[(1)()]24kl A k n k n k =-⨯+-=-． 由k的任意性知，()l A 的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -=L ．……………13分。