d iv ( u ) d iv ( g r a d ) S
10
有限体积法的关键步骤：
将控制方程在控制体积内积分

V
ρφ t
dV
d iv (ρ φ u ) d V
V

d iv ( Γ g r a d φ )d V S
V V
φ
dV


2.2有限体积法及其网格介绍
1
2.2.1 有限体积法思想



有限体积法是在有限差分法基础上发展起来的，同时 它又吸收了有限元法的一些优点。 基本思路：将计算区域划分为网格，并使每个网格点 周围有一个互不重复的控制体积，将待解微分方程 （控制方程）对每一个控制体积分，从而得出一组离 散方程。其中的未知量是网格点上的因变量 。 有限体积法获得的离散方程，物理上表示的是控制容 积的通量平衡，方程中各项有明确的物理意义。这也 是有限体积法与有限差分法和有限元法相比更具有优 势的地方。
7
网格几何要素的标记



P表示所研究的节点。 东、西侧相邻节点用E、W表示。 东、西侧界面用e、w表示。 两个界面间的距离用 D x 表示。 二维、三维问题增加上下标识。 W P
i
E
i+1 N
8
1
i-1
问题的描述

通用守恒型方程：无论是连续方程、动 量方程还是能量方程，都可以写成通用 形式。
3
2.2.2有限体积法所使用 的网格 Cells and nodes
Boundary node
Control volume Computational node



Using finite volume method, the solution domain is subdivided into a finite number of small control volumes (cells网格单元) by a grid. The grid defines the boundaries of the control volumes while the computational node lies at the center of the control volume. The advantage of FVM is that the integral conservation is satisfied exactly over the control volume.
2
Finite volume: basic methodology




Divide the domain into control volumes. Integrate the differential equation over the control volume and apply the divergence theorem. To evaluate derivative terms, values at the control volume faces are needed: have to make an assumption about how the value varies. Result is a set of linear algebraic equations: one for each control volume. Solve iteratively or simultaneously.
φ 随 时 间 的 变 化 量 φ由 边 界 流 进 控 制 容 积 的 量 φ由 边 界 扩 散 进 入 控 制 体 积 的 量 φ由 内 源 产 生 的 量
12

对稳态，时间相关项为零，方程为：
n ρ φ u d A n Γ g r a d φ d A S
利用高斯散度定理将方程中的两个散度项（方程左 端的对流项和方程右端的扩散项）的体积分转换为 关于控制体积表面上的面积分。 高斯定理：

V
div ( a ) dV

A
n a dA
11

控制方程改写为：
n (ρ φ u ) d A n ( Γ g r a d φ ) d A S
A A V φ
dV

对瞬态，还需对时间积分，以表明从时刻t到 （t+△t)的时间段内未知量仍保持其守恒性
ρφdV dt t V

Δt
n φ ρ u d A d t
Δt A

n Γ g r a d φ d A d t S
Δt A Δt V
φ
dV
13
A A V φ
ρφdV t V
dV

用文字表述的特征变量在控制体积内的 守恒关系为：
φ 随 时 间 的 变 化 量 φ由 于 边 界 对 流 引 起 的 净 减 少 量 φ由 边 界 扩 散 引 起 的 净 增 加 量 φ由 内 源 引 起 的 净 产 生 量
4
节点、控制体积、界面、网格线



节点：需要求解的未知物理量的位置 控制体积：应用控制方程或守恒定律的最小几 何单位 界面：它规定了与各节点相对应的控制体积的 分界面位置。 网格线：联结相邻两节点而形成的曲线簇。 有限体积法中，把节点看做控制体积的代表。 在离散过程中，将一个控制体积上的物理量定 义并储存在该节点处。
9
方程的分类

瞬态扩散方程
稳态扩散方程 瞬态对流扩散方程 稳态对流扩散方程
t
d iv ( g r a d ) S

d iv ( g r a d ) S 0
t d iv ( u ) d iv ( g r a d ) S
5
Typical control volume
（节点排列有序，称之为结构网格）
W P E
1
i-1
NW
i
Dx
N
n
i+1
NE
N
dyn
W j,y,v i,x,u w
P s
e
E
Dy
dys
SW
S
SE
网格的网格节点以一 种不规则的形式布置在流场 中。这种网格虽然生成过程 比较复杂，但对具有复杂边 界的流场计算问题特别有效。 非结构网格一般通过专门的 程序或软件来生成。
t d iv ( ρ φ u ) d iv ( g r a d ) S

它代表的物理意义是：
φ 随 时 间 的 变 化 量 φ由 于 边 界 对 流 引 起 的 净 减 少 量 φ由 边 界 扩 散 引 起 的 净 增 加 量 φ由 内 源 引 起 的 净 产 生 量