数理统计练习题1．设4321,,,X X X X 是总体),(2σμN 的样本，μ已知，2σ未知，则不是统计量的是（ ）.（A ）415X X +； （B ）41ii Xμ=-∑；（C ）σ-1X ； （D ）∑=412i iX.解： 统计量是不依赖于任何未知参数的连续函数. ∴ 选C.2．设总体n X X X p B X ,,,),,1(~21Λ为来自X 的样本，则=⎪⎭⎫⎝⎛=n k X P （ ）. （A ）p ； （B ）p -1；（C ）k n k k n p p C --)1(； （D ）k n k kn p p C --)1(.解：n X X X Λ21相互独立且均服从),1(p B 故 ∑=ni ip n B X1),(~即 ),(~p n B X n 则()()(1)k k n k n k P X P nX k C p p n-====- ∴ 选C.3．设n X X X ,,,21Λ是总体)1,0(N 的样本，X 和S 分别为样本的均值和样本标准差，则（ ）.（A ）)1(~/-n t S X ； （B ）)1,0(~N X ；（C ）)1(~)1(22--n S n χ； （D ）)1(~-n t X n .解：∑==ni i X n X 11 0=X E ，)1,0(~112n N X n n n X D ∴== B 错 )1(~)1(222--n S n χσΘ)1(~)1(1)1(2222--=-∴n S n S n χ)1(~-n t n SX. ∴ A 错.∴ 选C.4．设n X X X ,,,21Λ是总体),(2σμN 的样本，X 是样本均值，记=21S∑∑∑===--=-=--n i n i n i i i i X n S X X n S X X n 1112232222)(11,)(1,)(11μ，∑=-=ni i X n S 1224)(1μ，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ ）.（A ）1/1--=n S X T μ； （B ）1/2--=n S X T μ；（C ）nS X T /3μ-=； （D ）n S X T /4μ-=解：)1(~)(2212--∑=n X Xni iχσ)1,0(~N n X σμ-)1(~1)(1122----=∑=n t n X XnX T ni iσσμ)1(~11/)(222---=--=n t n S X n nS nX T μμ ∴ 选B.5．设621,,,X X X Λ是来自),(2σμN 的样本，2S 为其样本方差，则2DS 的值为（ ）.（A ）431σ； （B ）451σ； （C ）452σ； （D ）.522σ 解：2126,,,~(,),6X X X N n μσ=L ∴)5(~5222χσS由2χ分布性质：1052522=⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σS D即442522510σσ==DS ∴ 选C.6．设总体X 的数学期望为n X X X ,,,,21Λμ是来自X 的样本，则下列结论中正确的是（ ）.（A ）1X 是μ的无偏估计量； （B ）1X 是μ的极大似然估计量； （C ）1X 是μ的一致（相合）估计量； （D ）1X 不是μ的估计量.解：11EX EX X μ==∴Q 是μ的无偏估计量. ∴ 选A.7．设n X X X ,,,21Λ是总体X 的样本，2,σμ==DX EX ，X 是样本均值，2S 是样本方差，则（ ）.（A ）2~,X N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）2S 与X 独立； （C ）)1(~)1(222--n S n χσ； （D ）2S 是2σ的无偏估计量.解：已知总体X 不是正态总体 ∴（A ）（B ）（C ）都不对. ∴ 选D.8．设n X X X ,,,21Λ是总体),0(2σN 的样本，则（ ）可以作为2σ的无偏估计量.（A ）∑=n i i X n 121； （B ）∑=-n i i X n 1211；（C ）∑=n i i X n 11； （D ）∑=-ni i X n 111.解：2222)(,0σ==-==i i i i i EX EX EX DX EX22121)1(σσ=⋅=∑n nX n E n i∴ 选A.9．设总体X 服从区间],[θθ-上均匀分布)0(>θ，n x x ,,1Λ为样本，则θ的极大似然估计为（ ）（A ）},,max {1n x x Λ； （B ）},,min{1n x x Λ （C ）|}|,|,max {|1n x x Λ （D ）|}|,|,min{|1n x x Λ解：1[,]()20x f x θθθ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它似然正数∏==ni i n x f x x L 11),();,,(θθΛ1,||1,2,,(2)0,i nx i n θθ⎧≤=⎪=⎨⎪⎩L 其它此处似然函数作为θ函数不连续 不能解似然方程求解θ极大似然估计∴ )(θL 在)(n X =θ处取得极大值 |}|,|,max{|ˆ1nn X X X Λ==θ∴ 选C.10．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μL 为来自X 的样本，则下列结论中 正确的是（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. （ ） 解：1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.11．设12,,,n x x x L 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的 置信度为1α-的置信区间为 （A ）/2/2(x u x u αα-+ （B ）1/2/2(x u x u αα--+ （C ）(x u x uαα-+ （D ）/2/2(x u x u αα-+ 解：因为方差已知，所以μ的置信区间为/2/2(X u X u αα-+应选D.12．设总体 X ~ N ( μ , σ2 ),其中σ2已知，则总体均值μ的置信区间长度L 与置信度1-α的关系是(a) 当1-α 缩小时，L 缩短. (b) 当1-α 缩小时，L 增大. (c) 当1-α 缩小时，L 不变. (d) 以上说法均错.解：当σ2已知时，总体均值μ的置信区间长度为当1-α 缩小时，L 将缩短，故应选（a) 13．设总体 X ~ N ( μ1 , σ12 ), Y ~ N ( μ2 , σ22 ) ,X 和Y 相互独立，且 μ1 , σ12 ，μ2 , σ22 均未知,从X 中抽取容量为n 1 =9的样本，从Y 中抽取容量为n 2 =10的样本分别算得样本方差为S 12 =63.86， S 22=236.8对于显著性水平α=0.10（0< α <1）,检验假设H 0 : σ12 = σ22 ； H 1 : σ12≠ σ22则正确的方法和结论是[ ](a) 用F 检验法,查临界值表知F 0.90(8 ，9)=0.40, F 0.10(8,9)=2.47 结论是接受H 0 (b) 用F 检验法,查临界值表知F 0.95(8,9)=0.31, F 0.05(8,9)=3.23 结论是拒绝H 0 (c) 用t 检验法,查临界值表知t 0.05(17)=2.11结论是拒绝H 0 (d) 用χ2检验法,查临界值表知χ2 0.10(17)=24.67结论是接受H 0解：这是两个正态总体 均值未知时，方差的检验问题，要使用F 检验法。

在假设H 0 : σ12 = σ22 是双侧检验问题，选(b)14．机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中分别抽取容量为n 1和n 2的样本，并且已知这些零件的长度都服从正态分布，为检验这两台机器的精度是否相同，则正确的假设是(a) H 0 : μ 1 = μ 2 ； H 1 : μ 1 ≠ μ 2 (b) H 0 : μ 1 = μ 2 ； H 1 : μ 1 < μ 2 (c) H 0 : σ12 = σ22 ； H 1 : σ12≠ σ22 (d) H 0 : σ12 = σ22 ； H 1 : σ12< σ22 分析：为检验精度，要检验方差是否相同，故应选(C)15．在求参数θ的置信区间时，置信度为90%是指（ ） （a ） 对100个样品，定有90个区间能覆盖θ （b ） 对100个样品，约有90个区间能覆盖θ （c ） 对100个样品，至多有90个区间能覆盖θ （d ） 对100个样品，只能有90个区间能覆盖 θ 答：选(b)16．收集了n 组数据n i y x i i ,,2,1),(Λ= 画出散布图，若n 个点基本在一条直线附近时，称这两变量间具有（ ）（a ） 独立的关系 （b ） 不相容的关系 （c ） 函数关系 （d ） 线性相关关系 答：选(d)17．设1217,,,X X X L 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =____________.（注：20.01(17)33.4χ=, 20.005(17)35.7χ=, 20.01(16)32.0χ=, 20.005(16)34.2χ=）解：2216(){4}0.014S P S a P a >=>= 即 20.01(16)4a χ=，亦即 432a = 8a ∴=.18．设测量零件的长度产生的误差X 服从正态分布2(,)N μσ，今随机地测量16个零件，得1618ii X==∑，162134i i X ==∑. 在置信度0.95下，μ的置信区间为___________.0.050.025((15) 1.7531,(15) 2.1315)t t ==解：μ的置信度1α-下的置信区间为/2/2(((X t n X t n αα--+- 16222110.5,[16]2, 1.4142,1615i i X S X X S n ===-===∑0.025(15) 2.1315.t =所以μ的置信区间为（0.2535,1.2535-）.19．最小二乘法的基本特点是使回归值与＿＿＿的平方和为最小，最小二乘法的理论依据是＿＿＿。

答：实际观测值；函数的极值原理。

20．某单因子试验，因子A 有 2 个水平，水平 A 1下进行 5 次重复试验，在水平A 2下进行 6 次重复试验，则总偏差平方和的自由度为（ ）。

答：10数理统计的基本概念1．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为λ的泊松分布，从产品中抽一个容量为n 的样本12,,,n X X X L ，求样本的分布.解 样本12(,,,)n X X X L 的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为 11221(,,,)()nn n ii i P X k X k X k P Xk ======∏L 1!ikni i e k λλ-==∏112!!!ni i n k n e k k k λλ=-∑=L 0,1,i k =L ，1,2,,,i n =L 2．加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/λ的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n 件零件构成一个容量为n 的样本，求样本分布。