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高一数学函数的单调性与最值教案

高一数学函数的单调性与最值教案内部编号:(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128)高一数学——函数第三讲 函数的单调性与最大(小)值【教学目标】:(1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (3)能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性; (4)理解函数的最大(小)值及其几何意义。

【重点难点】:1.重点:函数的单调性、最大(小)值及其几何意义,2.难点: 利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性,利用函数的单调性求函数的最大(小)值。

【教学过程】:用具: 一、知识导向或者情景引入1、观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:(3)函数图象是否具有某种对称性 2、画出下列函数的图象,观察其变化规律:(1)f(x) = x○1 从左至右图象上升还是下降______ ○2 在区间 ____________ 上,随着x 的增 大,f(x)的值随着 ________ .(2)f(x) = -2x+1○1从左至右图象上升还是下降 ______○2在区间 ____________ 上,随着x的增大,f(x)的值随着 ________ .(3)f(x) = x2○1在区间 ____________ 上,f(x)的值随着x的增大而 ________ .○2在区间 ____________ 上,f(x)的值随着x的增大而 ________ .二、新课教学(一)函数单调性定义1.增函数一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数(increasingfunction).思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义.(学生活动)注意:○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。

○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2;当x 1<x 2时,总有f(x 1)<f(x 2) .注意“任意”两字绝不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换,两个任意的自变量是属于同一个单调区间。

2.函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y=f(x)的单调区间: 3.判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤: ○1 任取x 1,x 2∈D ,且x 1<x 2;○2 作差f(x 1)-f(x 2); ○3 变形(通常是因式分解和配方); ○4 定号(即判断差f(x 1)-f(x 2)的正负); ○5 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性). 4、判定函数单调性的常见方法(1)定义法:如上述步骤,这是证明或判定函数单调性的常用方法 (2)图象法:根据函数图象的升降情况进行判断。

(3)直接法:运用已知的结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出。

直接判定函数的单调性,可用到以下结论:()函数)()(x f y x f y =-=与函数的单调性相反()函数)(x y 恒为正或恒为负时,函数)()(1x f y x f y ==与的单调性相反。

()在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数 等提醒:书写函数的单调区间时,区间端点的开或闭没有严格规定,习惯上,若函数在区间端点处有定义,则写成闭区间,当然写成开区间也可;若函数在区间端点处没有定义,则必须写成开区间。

(二)典型例题例1.(教材P 29例1)根据函数图象说明函数的单调性. 解:见教材例2.(教材P 29例2)根据函数单调性定义证明函数的单调性. 解:见教材 巩固练习:证明函数xx y 1+=在(1,+∞)上为增函数。

例3.借助计算机作出函数y =-x 2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间.解: 用几何画板画,用A3打印,由学生看图回答。

思考:画出反比例函数xy 1=的图象. ○1 这个函数的定义域是什么 ○2 它在定义域I 上的单调性怎样证明你的结论. 说明:本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象. 归纳小结,强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步:取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 (三)函数的最大(小)值画出下列函数的图象,并根据图象解答下列问题:○1 说出y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上的单调性; ○2 指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征 (1)32)(+-=x x f (2)32)(+-=x x f ]2,1[-∈x (3)12)(2++=x x x f(4)12)(2++=x x x f]2,2[-∈x()函数最大(小)值定义1.最大值一般地,设函数y=f(x)的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1)对于任意的x ∈I ,都有f(x)≤M ; (2)存在x 0∈I ,使得f(x 0) = M那么,称M 是函数y=f(x)的最大值(Maximum Value ).思考:仿照函数最大值的定义,给出函数y=f(x)的最小值(Minimum Value )的定义.(学生活动)注意:○1 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x 0∈I ,使得f(x 0) = M ;○2 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x ∈I ,都有f(x)≤M (f(x)≥M ).2.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法○1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值○2利用图象求函数的最大(小)值○3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);()典型例题例1.(教材P例3)利用二次函数的性质确定函数的最大(小)值.30解:(略)说明:对于具有实际背景的问题,首先要仔细审清题意,适当设出变量,建立适当的函数模型,然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大25(小)值.巩固练习:如图,把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形一边长为x,面积为y试将y表示成x的函数,并画出函数的大致图象,并判断怎样锯才能使得截面面积最大本题是在教材23页练习第一题的增加(正方形)例2.(新题讲解)旅馆定价一个星级旅馆有150个标准房,经过一段时间的经营,经理得到一些定价和住房率的数据如下:欲使每天的的营业额最高,应如何定价解:根据已知数据,可假设该客房的最高价为160元,并假设在各价位之间,房价与住房率之间存在线性关系.设y 为旅馆一天的客房总收入,x 为与房价160相比降低的房价,因此当房价为)160(x -元时,住房率为)%102055(⋅+x,于是得 y =150·)160(x -·)%102055(⋅+x. 由于)%102055(⋅+x≤1,可知0≤x ≤90. 因此问题转化为:当0≤x ≤90时,求y 的最大值的问题. 将y 的两边同除以一个常数,得y 1=-x 2+50x +17600.由于二次函数y 1在x =25时取得最大值,可知y 也在x =25时取得最大值,此时房价定位应是160-25=135(元),相应的住房率为%,最大住房总收入为(元).所以该客房定价应为135元.(当然为了便于管理,定价140元也是比较合理的)例3.(教材P 31例4)求函数12-=x y 在区间[2,6]上的最大值和最小值. 解:(略)注意:利用函数的单调性求函数的最大(小)值的方法与格式.三、 课堂练习1、教材32页练习2、提高作业:快艇和轮船分别从A 地和C 地同时开出,如下图,各沿箭头方45 km/h 和15 km/h ,已知AC=150km ,经过多少时间后,快艇和轮船之间的距离最短3、函数2x y -= A 、]0,(-∞ B 、),0[+∞ C 、),0(+∞ D 、),(+∞-∞4、若2121),()()(x x x f x f R x f 与则上的增函数,且是>的大小关系是 (世纪)5、设函数)()1(),()(2a f a f x f 与上的减函数,则是++∞-∞的大小是 (世纪)6、函数x x y 22+-=在[1,2]上的最大值为( )(世纪) A 、1 B 、2 C 、-1 D 、不存在7、设)(,)(2x f q px x x f 若++=的最小值为0,则q 为 (世纪)8、证明函数),是(∞+∞-+=23)(x x f 上的增函数。

(世纪)9、证明函数)1,0(1)(在xx x f +=上为减函数。

(世纪)10、作出函数9696)(22++++-=x x x x x f 的图象,并指出函数)(x f 的单调区间。

(世纪)11、已知函数]4,(2)1(2)(2-∞+-+=在区间x a x x f 上是减函数,求实数a 的取值范围。

(世纪)12、(易错题)已知)(x f 是定义在[-1,1]上的增函数,且x x f x f ,求)1()2(-<-的取值范围。

(世纪) 13、求函数1)(-=x xx f 在区间[2,5]上的最大值与最小值。

(世纪)14、求二次函数76)(2+-=x x x f 在区间[-2,2]上的最大值和最小值。

(世纪) 四、作业1、设),(),,(d c b a 都是函数)(x f 的单调增区间,且)()(,),,(),,(212121x f x f x x d c x b a x 与则<∈∈的大小关系是( D )(世纪)CDA 、)()(21x f x f <B 、)()(21x f x f >C 、)()(21x f x f =D 、不能确定 2、()已知函数2()24(03),f x ax ax a =++<<若1212,1,x x x x a <+=-则 (A ) A 、12()()f x f x > B 、12()()f x f x <C 、12()()f x f x =D 、1()f x 与2()f x 的大小不能确定 3、在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是( C ) A .y =2x +1 B .y =3x 2+1C .y =x2D .y =2x 2+x +14、函数f (x )=4x 2-mx +5在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函数, 则f (1)等于( D ) A .-7 B .1C .17D .255、函数f (x )在区间(-2,3)上是增函数,则y =f (x +5)的递增区间是( B ) A .(3,8) B .(-7,-2)C .(-2,3)D .(0,5)6、已知函数f (x )在区间[a ,b ]上单调,且f (a )f (b )<0,则方程f (x )=0在区间[a ,b ]内( D ) A .至少有一实根 B .至多有一实根C .没有实根D .必有唯一的实根7、已知函数f (x )是R 上的增函数,A(0,-1)、B(3,1)是其图象上的两点,那么不等式|f (x +1)|<1的解集的补集是( D ) A .(-1,2)B .(1,4)C .(-∞,-1)∪[4,+∞)D .(-∞,-1)∪[2,+∞)8、已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数,则实数a 的取值范围是( A )A .a ≤3B .a ≥-3C .a ≤5D .a ≥39、函数f (x )=-x 3+1在R 上是否具有单调性如果具有单调性,它在R 上是增函数还是减函数试证明你的结论.解析: f (x )在R 上具有单调性,且是单调减函数,证明如下:设x 1、x 2∈(-∞,+∞), x 1<x 2 ,则f (x 1)=-x 13+1, f (x 2)=-x 23+1.f (x 1)-f (x 2)=x 23-x 13=(x 2-x 1)(x 12+x 1x 2+x 22)=(x 2-x 1)[(x 1+22x )2+43x 22]. ∵x 1<x 2,∴x 2-x 1>0而(x 1+22x )2+43x 22>0,∴f (x 1)>f (x 2).∴函数f (x )=-x 3+1在(-∞,+∞)上是减函数.10、已知f (x )是定义在(-2,2)上的减函数,并且f (m -1)-f (1-2m )>0,求实数m 的取值范围. 解析: ∵f (x )在(-2,2)上是减函数∴由f (m -1)-f (1-2m )>0,得f (m -1)>f (1-2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ,∴m 的取值范围是(-32,21)11、求函数x x y 22-=在[2,4)上的最值、值域。

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