目录第十一讲 导数的概念与运算 (2)考点1：导数的定义 (2)题型一：求平均变化与瞬时变化率 (2)考点2：导数的运算 (5)题型二：导数运算 (5)题型三：()f a '实际是一个数 (8)课后综合巩固练习 (9)第十一讲 导数的概念与运算考点1：导数的定义１．函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-， 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x y+∆-∆=称作函数()y f x =在区间[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）上的平均变化率．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-． 如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数，那么常数称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．题型一：求平均变化与瞬时变化率例1.（1）（2018春•道里区校级月考）已知一质点的运动方程为22s t =-，则该质点在一段时间[0，2]内的平均速度为 ．（2）（2019春•武昌区校级期中）函数2()3f x x =在[2，6]内的平均变化率为 ．（3）（2019春•思南县校级月考）一物体作直线运动，其运动方程为2()2s t t t =-+，则1t =时其速度为 ．（4）（2018秋•广陵区校级期中）若某物体运动规律是3265(0)S t t t =-+>，则在t = 时的瞬时速度为0．例2.（1）求下列函数在区间00[]x x x +∆，上的平均变化率．① ()f x x = ② 2()f x x = ③ 3()f x x = ④1()f x x= ⑤()f x =（2）求下列函数分别在1x =，2x =和3x =处的瞬时变化率．① ()f x x = ② 2()f x x = ③ 3()f x x = ④ 1()f x x= ⑤ ()f x =例3.已知()()40f x kx k =+≠，且()f x 在区间[]12-，上的平均变化率是4，则k =＿＿＿＿．例4.（1）（2017春•揭东区校级月考）已知1()f x x =，则0lim x → (2)(2)f x f x+-的值是 ．（2）（2018春•西城区校级期中）已知函数2()f x x =，则0(1)(1)lim x f x f x→+-= ．（3）（2018春•孝感期末）已知()f x xlnx =，求0(32)(3)lim x f x f x→+-=（4）（2017秋•临夏市校级期末）设函数()f x 在1x =处存在导数为2，则(1)(1)lim 3x f x f x→+-= ．（5）（2017春•永昌县校级月考）设函数()f x 可导，f '（1）1=则(1)(1)lim 3x f x f x→+-= ．（6）（2018春•咸阳期末）若()y f x =在(,)-∞+∞上可导，且0(2)()lim 13x f a x f a x→+-=，则f '（a ）= ．考点2：导数的运算1．可导与导函数：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．2．基本初等函数的导数公式（1）若()f x C =（C 为常数），则()0f x '=； （2）若()()f x x αα*=∈Q ，则()1f x x αα-'=；（3）若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；特别地， 若()e x f x =，则()e x f x '=； （4）若()log a f x x =，则()1ln f x x a '=；特别地，若()ln f x x =，则()1f x x'=； （5）若()sin f x x =，则()cos f x x '=； （6）若()cos f x x =，则()sin f x x '=-．3.导数的四则运算法则：其中()()f x g x ，都是可导函数，C 为常数： (()())()()f x g x f x g x '''±=±；[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+； [()]()Cf x Cf x ''=；2()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（()0g x ≠）．题型二：导数运算例5.（1） 求下列函数的导数①2012y x = ②2x y = ③e x y = ④ln y x =（2）求下列函数的导数①3cos y x x =+ ②()231e x y x x =-+ ③e sin x y x = ④ln xy x=⑤()tan f x x =（3）求下列函数的导数① ()2211f x x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ② )11y ⎫=⎪⎭③()sin cos 22x xf x x =-例6.（1）313y x =；（2）21y x =；（3）42356y x x x =--+；（4）2cos y x x =+；（5）2sin y x x =+；（6）sin cos y x x =-；（7）1y x x=+；（8）1y x =（9）e x y x =；（10）sin y x x =；（11）2ln y x x =；（12）cos sin y x x x =-；（13）121y x =+；（14）21x y x =+；（15）11x y x -=+；（16）sin x y x=；（17）()22πy x =；（18）)22y =；（19）()()22331y x x =+-；（20）()()211y x x x =+-+．例7.（1）（2019春•龙凤区校级期中）已知函数()f x=的导数为()f x '，则f '（4）(=)A ．18B ．18-C ．116D ．116-（2）（2019春•香坊区校级期中）设()f x lnx =，若0()3f x '=，则0(x = ) A ．3eB ．3C ．13D ．3ln（3）（2019春•玉山县校级期中）设()f x '是函数cos ()x xf x x e=+的导函数，则(0)f '的值为( )A ．1eB ．1-C ．0D ．2（4）（2019春•诸暨市校级期中）已知()x f x e lnx =-，则f '（1）(= ) A ．e B ．1e - C ．0D ．11e-（5）（2019春•宁德期中）已知1()cos f x x =，21()()f x f x '=，32()()f x f x ='，43()()f x f x ='，⋯，1()()n n f x f x -='，则2019()f x 等于( )A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -（6）（2019春•莱西市校级月考）设0()sin f x x =，10()()f x f x '=，21()()f x f x '=，⋯，1()()n n f x f x '+=，n N ∈，则2020()f x 等于( )A ．sin xB ．sin - xC ．cos xD ．cos - x题型三：()f a '实际是一个数例8.（1）已知()()33215f x x f x '=--+，则()2f '-=______（2）（2019春•历下区校级期中）已知21()2(2019)20192f x x xf lnx '=-+-，则(1)f '(=) A ．2017 B ．2018C ．2019D ．2020。