U，U到[0，1]闭区间的任一映射A A：U[0，1]
都确定U的一个模糊集合A，A称为模糊集合A的隶 属函数，它反映了模糊集合中的元素属于该集合的 程度。若A中的元素用x表示，则A(x)称为x属于A 的隶属度。A(x)的取值范围为闭区间[0，1]，若 A(x)接近1，表示x属于A的程度高，A(x)接近0， 表示x属于A的程度低。可见，模糊集合完全由隶属 函数所描述。
解 模糊集合A可表示为：
A 0 0 0.3 0.7 1 1 0.7 0.3 0 0 0.3 0.7 1 1 0.7 0.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8
A={(1,0),(2,0),(3,0.3),(4,0.7),(5,1),(6,1), (7,0.7),(8,0.3), (9,0),(10,0)}={(3,0.3),(4,0.7),(5,1),(6,1),(7,0.7),(8,0.3),} A=[0 0 0.3 0.7 1 1 0.7 0 0]
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应用的研究已取得了丰富的 成果。尤其是随着模糊逻辑在自动控制领域的成 功应用，模糊控制理论和方法的研究引起了学术 界和工业界的广泛关注。在模糊理论研究方面， 以Zadeh提出的分解定理和扩张原则为基础的模糊 数学理论已有大量的成果问世。1984年成立了国 际模糊系统协会（IFSA），FUZZY SETS AND SYSTEMS（模糊集与系统）杂志与IEEE（美国 电气与电于工程师协会）“模糊系统”杂志也先 后创刊。
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模糊集合有很多表示方法，最常用的有以下几种：
1) 当论域U为有限集{x1,x2,…,xn}时，通常有以下三 种方式
(a) Zadeh表示法
将论域中的元素xi与其隶属度A (xi)按下式表示A，
则
A A (x1 ) A (x2 ) A (xn )
x1
x2
xn
其中 A(xi)/xi并不表示“分数”，而是表示论域中 的元素xi与其隶属度A(xi)之间的对应关系。“+” 也不表示“求和”，而是表示模糊集合在论域U上 的整体。在Zadeh表示法中，隶属度为零的项可不写 入。
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若A为以实数R为论域的模糊集合，其隶属函数 为A(x)，如果对任意实数a<x<b，都有
A(x)min{A(a),A(b)} 则称A为凸模糊集。凸模糊集实质上就是隶属函数 具有单峰值特性。今后所用的模糊集合一般均指凸 模糊集。
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例 4-1 在 整 数 1,2,…,10 组 成 的 论 域 中 ， 即 论 域 U={1,2,…,10}，用A表示模糊集合“几个”。 并设 各 元 素 的 隶 属 函 数 A 依 次 为 {0,0,0.3,0.7,1,1,0.7,0.3,0,0}。
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2) 当论域U为有限连续域时，Zadeh表示法为
A A (x)
Ux
其中 A(xi)/xi也不表示“分数”，而是表示论域中 的元素xi与其隶属度A(xi)之间的对应关系。“”也 不表示“积分”，而是表示模糊集合在论域U上的 元素x与其隶属度A(x)对应关系的一个整体。同样 在有限连续域表示法中，隶属度为零的部分可不写 入。
第4章 模糊逻辑控制理论
❖ 4.1模糊逻辑理论的基本概念 ❖ 4.2 模糊逻辑控制系统的基本结构 ❖ 4.3 模糊逻辑控制系统的基本原理 ❖ 4.4 离散论域的模糊控制系统的设计 ❖ 4.5 具有PID功能的模糊控制器
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控制论的创始人维纳教授在谈到人胜过最完善的 机器时说：“人具有运用模糊概念的能力”。这清楚 地指明了人脑与电脑之间有着本质的区别，人脑具有 善于判断和处理模糊现象的能力。“模糊”是与“精 确”相对的概念。模糊性普遍存在于人类思维和语言 交流中，是一种不确定性的表现。随机性则是客观存 在的另一类不确定性，两者虽然都是不确定性，但存 在本质的区别。模糊性主要是人对概念外延的的主观 理解上的不确定性。随机性则主要反映客观上的自然 的不确定性，即对事件或行为的发生与否的不确定性。
那么“高温”、“中温”、“低温”等也都没有明
确的外延。所以诸如此类的概念都是模糊概念。模
糊概念不能用经典集合加以描述，因为它不能绝对
地用“属于”或“不属于”某集合来表示，也就是
说论域上的元素符合概念的程度不是绝对的0或1，
而是介于0和1之间的一个实数。
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1．模糊集合的定义及表示方法 Zadeh在1965年对模糊集合的定义为：给定论域
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(b) 序偶表示法 将论域中的元素xi与其隶属度A(xi)构成序偶来表示A， 则
A={(x1,A(x1)),(x2,A(x2)),…,(xN,A(xN)) | xU} 在序偶表示法中，隶属度为零的项可省略。
(c) 向量表示法 将论域中元素xi的隶属度A(xi)构成向量来表示A，则
A=[A(x1) A(x2) … A(xN)] 在向量表示法中，隶属度为零的项不能省略。
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在康托创立的经典集合论中，一事物要么属于
某集合，要么不属于某集合，二者必居其一，没有
模棱两可的情况。即经典集合所表达概念的内涵和
外延都必须是明确的。
在人们的思维中，有许多没有明确外延的概念，
即模糊概念。表现在语言上有许多模糊概念的词，
如以人的年龄为论域，那么“年青”、“中年”、
“年老”都没有明确的外延。再如以某炉温为论域，
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在模糊逻辑的应用方面，自从1974年英国的 Mamdani首次将模糊逻辑用于蒸汽机的控制后， 模糊控制在工业过程控制、机器人、交通运输等 方面得到了广泛而卓有成效的应用。与传统控制 方法如PID控制相比，模糊控制利用人类专家控 制经验，对于非线性、复杂对象的控制显示了鲁 棒性好、控制性能高的优点。模糊逻辑的其他应 用领域包括：聚类分析、故障诊断、专家系统和 图像识别等。
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4.1 模糊逻辑理论的基本概念
4.1.1 模糊集合及其运算 集合一般指具有某种属性的、确定的、彼此
间可以区别的事物的全体。将组成集合的事物称 为集合的元素或元。通常用大写字母A，B，C， ，X，Y，Z等表示集合，而用小写字母 a,b,c,…,x,y,z表示集合内元素。被考虑对象的所有 元素的全体称为论域，一般用大写字母U表示。