第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y = /(x)(xeD),把使/(x) = 0成立的实数无叫做函数y =f(x)(xeD)的零点。

2、函数零点的意义：函数y = /(x)的零点就是方程/(x) = 0实数根，亦即函数y = /(x)的图象与兀轴交点的横坐标。

即：方程/(%) = 0有实数根o函数y = /(x)的图象与兀轴有交点o函数y = /(x) 有零点.3、函数零点的求法：①(代数法)求方程f(x) = 0的实数根；© (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y = /(x)的图象联系起來, 并利用函数的性质找出零点.4、基本初等函数的零点：①正比例函数y = kx(k 0)仅有一个零点。

②反比例函数y =-伙H 0)没有零点。

x③一次函数y = 伙工0)仅有一个零点。

④二次函数y = ax2 + bx^- c(a H 0).(1)A> 0 ,方程ax2+bx+c = 0(a^0)有两不等实根，二次函数的图象与兀轴有两个交点，二次函数有两个零点.(2)A=0,方程加+C =0(QH0)有两相等实根，二次函数的图象与兀轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.(3)A<0,方程a^+fex+c = 0(dH0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点.⑤指数函数y = a x(a > 0,且o h 1)没有零点。

⑥对数函数歹=log“ x(a > 0,且a工1)仅有一个零点1.⑦幕函数丁 =屮，当〃>0时，仅有一个零点0,当〃50时，没有零点。

5、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数)，函数先把/(兀)转化成/(x) = 0,再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数)［,儿(基本初等函数)，这另个函数图像的交点个数就是函数/ (兀)零点的个数。

6、选择题判断区间(a,b)上是否含有零点，只需满足/(a)/(b)<0。

试判断方程X4-X2+2X-1= 0在区间［0, 2］内是否有实数解？并说明理由。

7、确定零点在某区间（d,b ）个数是唯一的条件是:①/（兀）在区间 上连续，且/（d ）/（b ）＜ 0②在区间（Q"）上单调。

求函数/（%） = 2" + Ig （x +1） - 2的零点个数。

8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使/（兀）=0的实数；从“形”的角度看：即是函数/（兀）的图象与x 轴交点的横坐标；若函数/（%）的图象在x = x 0处与兀轴相切，则零点兀。

通常称为不变号零点； 若函数f（x ）的图象在x = x 0处与兀轴相交，则零点兀0通常称为变号零点.一元二次方程根的分布讨论一元二次方程根的分布的基本类型设一元二次方程+^X4-C = 0 （。

工0）的两实根为站，兀2,且兀1＜兀2・k 为常数,则一元二次方程根的k 分布（即"，兀2相对于k 的位置）或根在区间上的 分布主要有以下基本类型：表一：（两根与0的大小比较）分布情况脚> KB>0(-.f 于>一大石 何个<x我一 O一 O』 根于人呵卜 OO大致图象(> )L//I\)Xrr 得出的结论o O O < > 7需⑼一 /o o o > >A>±26z ⑼一 /O < \)/ 9 /O大致图象(< ) ay A- IA1X 0r 得出的结论o o o < < A>±<加⑼- r/ ■ ■zJo o o > < A>A2a ⑼一/ r<o > a综合结论(不讨论G)ro )o > o < ) A>;/(0 •o )o > o > ) A>;m •Q r<o < \)z o z(\ / •d表二：（两根与k 的大小比较）分布情况即 比£ <// , 歸 <即 k k > it 勺 都k H > 两 西大 个可 一 < £ < 于 西 小 即 根 k 个 于大 致 图 象a>0n \- /1\□1 3 -3vyX1 n F得出的结论£ O O < > A>A<2a ⑷一/ —#<1—4£ O O > > A>A2a ⑷- f ■ ■■、O< \)/ JK 7|\ /表三：（根在区间上的分布）分布情况内\1^/ An)加 一另 g , < 内p 司 V 仏 n o < 在加 根 ， 一内大 致 图 象z*xa > 0// n1 ? y--X q m3得出的结论</?■o O < O0>少方加A/ / X r ko<<o O < <或o o o O > < < > -)切小0 /|\ /|\ //\ /(\ / / / /O大致图象(V )得出的结论A>0 b --- < k 2a /(^)<0A>0 b . --- > k 2a /W<0张)> o综合结论(不讨论G)A>0b --- <k2a心⑷〉0A>0b ---- >k 2a aj ⑷ >0a <0yA *Jr yy-A-X \\ 2X n 1 X 3nX Q A\ X p n1 T得出的结论o o < >0( - A / /n<o <o o < < \J/ \)/ n q /(X z(\ / / \—/ \H7 w p /l\ z(\ / / /1<1* 或 o o o o < > > < 呦切m 0 zl\ z/l\ z(\ 7/l\ / / / / Jxx — 综合结论 凉论o < \17 z/(\ / •\17 7t 7(\ /o o < < ⑺⑷V)/( (-(f) < < <(1)关于X 的方程兀2 +2(加+ 3)无+2血+14=0有两个实根，且一 个大于1，一个小于1,求772的収值范围？(2)关于x 的方程〒+2(加+3)x+2加+14=0有两实根在[0,4] 内，求加的取值范围？(3)关于x 的方程mj? + 2(m+3)x +2m+14=0有两个实根，且 一个大于4, 一个小于4,求加的取值范围？9、二分法的定义对于在区间S，切上连续不断，且满足/«)•/3X (的函数〉‘=/(兀)，通过不断地把函数/(Q的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.10、给定精确度£，用二分法求函数/(兀)零点近似值的步骤：(1)确定区间［a, b］f验证f(a) - f(b) < 0 ,给定精度"(2)求区间(a, b)的中点齐；(3)计算/U,)：①若/(兀1)二0,则兀|就是函数的零点；②若f(a)• /(Xj)<0 »则令0二£ (此时零点x Q e(a,X!))；③若/(%!) ° f(b) <0 ,则令a二尢］(此时零点x0€(%,,/?))；(4)判断是否达到精度“即若\a-b\<£,则得到零点值。

(或〃)；否则重复步骤(2) ~ (4).11、二分法的条件/⑺)・f(b) <0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

12、解决应用题的一般程序：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型;③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，述原为实际问题的意义.13、函数的模型14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模世:一次函数模型：/(x) = kx + b(kH 0);二次函数模型：g(x) = cue +/zr+c(oH());丄幕函数模型：h{x) = ax1+Z?(GH O);指数函数模型：/(x) = ab x + c (dHO,/?>0, bHl)利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型。