任保平《微观经济学》 第十一章 博弈论与企业策略
课后习题详解
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1．什么是博弈的标准式表示？在博弈的标准式中，什么是严格劣战略？ 答：（1）标准式表示又称为战略式表示，在这种表述中，所有参与人同时选择自己的战略，所有参与人选择的战略一起决定每个参与人的支付。
参与人“同时选择”的是战略，是参与人行动的全面计划和准则，而不是行动。
因此，战略式表述也可以用来描述动态博弈。
标准式表示包括三方面内容：
第一，博弈的参与人集合：i φ∈；()1,2,,n φ= ；
第二，每个参与人的战略空间：i S ，1,2,,i n = ；
第三，每个参与人的支付函数：()1,,,i i n u s s s ,，1,2,,i n = 。
所以，{}11,,,,n n G S S u u = ；代表战略式表述博弈。
（2）严格劣战略的定义：令i s '和i s ''是参与人i 可选择的两个战略（即i i s s '∈，i i s s ''∈）。
如果对于任意的其他参与人的战略组合i s -，参与人i 从选择i s '得到的支付严格小于从选择i s ''得到的支付，即()(),,i i i i i i i u s s u s s s ---'''<∀，战略i s '严格劣于战略i s ''。
例如，在“智猪博弈”中，对于小猪，“按”（严格）劣于“等待”。
2．在表11-7的博弈中，哪些战略不会被重复剔除严格劣战略所剔除？
表11-7
答：剔除顺序是：B ，C 。
对于参与人1，战略B 是严格劣于战略M 的，因此先剔除B 。
对参与人2来说，战略C 严格劣于战略R 。
剔除完后，还剩下（T ，L ），（T ，R ），（M ，L ），（M ，R ）。
3．求出表11-8博弈中的混合战略纳什均衡。
表11-8
答：假设参与人1的混合战略为()1,1P X X =-，即参与人以X 的概率选择T ，以（1X -）的概率选择B ；假设参与人2的混合战略为()2,1P Y Y =-，即参与人以Y 的概率选择L ，以（1Y -）的战略选择R ；
则参与者1的期望效用为：
()()()12011314323V X Y Y X Y Y XY X Y =+⨯-+-+-=--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
则参与人1效用最大化的一阶条件为：
1
=430V Y X
∂-=∂，解得：0.75Y =。
同理，参与者2的期望效用为：
()()()221120223V Y X X Y X Y X XY =+-+-+=+-⎡⎤⎣⎦
则参与人2效用最大化的一阶条件为：
2
230V X Y
∂=-=∂，解得：2/3X = 所以，（2/3，1/3），（0.75，0.25）是这个混合战略的纳什均衡。
4．把“田忌赛马”表示为战略式博弈模型，并求解其均衡。
答：（1）用数字1、2、3分别表示上、中、下三个等级的马，那么田忌和齐王的策略集分别为：
{}123,132,213,312,231,321S S ==田齐
这里数字的排列顺序表示三个等级的马的出场顺序。
博弈的战略式表述（其中，赢一场得1分，输一场得－1分，平一场得0分）如表11-9所示。
（3）田忌赢得比赛不是纳什均衡，因为这场赛马博弈是一个零和博弈，该博弈无纳什均衡。
5．试用反应函数法求解“囚徒困境”博弈的纳什均衡。
答：囚徒困境如表11-10所示：
表11-10 囚徒困境
设A 选择坦白的概率为p ，选择抵赖的概率为1p -； B 选择坦白的概率为q ，选择抵赖的概率为1q -。
局中人甲的期望支付为：
()()()()()()()
,3015111141141甲 U p q pq p q p q p q pq p q p q q =-+⨯-+--+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+--=+-+
局中人乙的期望支付为：
()()()()()()()
,3510111141141 U p q pq p q q p p q pq q p q p q =-+--+-+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+--=+-+乙
根据期望最大化的一阶条件求反应函数：
()(),10,10p q U p q q U p q p '=+='=+=甲
乙
上述两式无解。
因此不能用代数求导方法寻找囚徒困境博弈的纳什均衡。
理由：代数求导——寻找纳什均衡的方法，只能求导混合策略纳什均衡，而囚徒困境只有纯策略纳什均衡，不存在混合策略纳什均衡，故不能用代数求导方法求解
6．说明纳什均衡与占优战略均衡的联系与区别。
答：（1）纳什均衡指这样一种策略集，在这一策略集中，每一个博弈者都确信，在给定竞争对手策略决定的情况下，他选择了最好的策略。
纳什均衡是由所有参与人的最优策略所组成的一个策略组合，也就是说，给定其他人的策略，任何个人都没有积极性去选择其他策略，从而这个均衡没有人有积极性去打破。
占优策略均衡是由博弈中的所有参与者的占优策略组合所构成的均衡。
因为在一个博弈里，如果所有参与人都有占优策略存在，那么，占优策略均衡是可以预测到的惟一均衡，因为没有一个理性的参与人会选择劣策略。
在囚徒困境博弈里，（坦白，坦白）是占优策略均衡。
应该指出的是，占优策略均衡只要求每个参与人是理性的，而并不要求每个参与人知道其他参与人是理性的（也就是说，不要求“理性”是共同知识），这是因为，不论其他参与人是否是理性的，占优策略总理性参与人的最优选择。
（2）纳什均衡与占优策略的区别与联系
占优策略均衡的实质是指不管其他参与者如何行动，每个参与者都有一个对自己来说是最好的策略；而在纳什均衡中，须给定其他参与者的行动，每个参与者才可以选择一个对自己来说是最好的策略。
因此，二者的区别在于：在占优策略均衡中，我所作的是不管你做什么我所能做的最好的，你做的是不管我做什么你能做的最好的；在纳什均衡中，我所做的是给定你所做的我所能做的最好的，你所做的是给定我所做的你能做的最好的。
从二者的联系来看，占优策略均衡是纳什均衡的一个特例，一个占优策略均衡首先是一个纳什均衡。
纳什均衡不一定是占优均衡。
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