§ 13古典概型与几何概型13.1 古典概型1.定义⑴试验的样本空间只包含有限个元素；(2)试验中每个基本事件发主的可能性相同具有以上两个特点的邂称为等可能概型或古典概型.2.古典概型中事件概率的计算公式设试验£的样本空间由《个样本点构成，A 为E 的任意一个事件，且包含&个样本点，则事件M发生的概率为：厶4所包含样本点的个数'■ n■样本空间中样本点总数•称此为概率的古典定义.例1将一枚硬币抛掷三次(1)设事件合为“恰有一次出现正面”，求P(4J・(2)设事件％为“至少有一次出P(A,). Q现正解(1)设H为出现正面M为出现反面电多则S = [HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}.而A 严{HTT,THT,TTH}・得PG4J = 3 8・(2) A 2 = {HHH, HHr, HTH, THH, HTT, THT‘TTH }・因此P(/4 2)= 7 8. 见尸11例7说明:对于比较简单的试验,可以直接写出样本空间和审件,然后数出各自所含样本点的个数即可.对于较复杂的试验,-般不再将样本空间中的元素——列出,而只需利用排列.组合及乘法原理、加法原理的知识分别求出样本空间中与与事件中包含的基本事件的个数,再由公式即可求出的概率.[#列.fe令基机公式排列.姐合基本公式乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有心种方法，第二步有兀2种方法,则完成这件事共有心心种方法加法公式：设完成一件事可有两种途径，第 一种途径有心种方法，第二种途径有宛2种方 法,则完成这件事共有勺+Z/2种方法•共有汹种排列方式.有重复排列：抽取次, 后放回, 从含有畀个元素的集合中随机 每次取一个，记录其结果 将记录结果排成一列，无重复排列：从含有死个元素的集合中随机抽取Jt 次, 取后不放回，将所取元素排成一列，n-Ar+1共有…(mR+1)种排列方式•组合：从含有W 个元素的集合中随机抽取A:个, 共有 ni一 kl ~ kl(n-k)l种取法.每次取一个, n zi-1 w ・2例2设有5件产品，其中3件是正品，2件是次品•今 从中抽取两次，每次丄件，取出后不再放回•试求：(1) 设4 =｛两件都是正品｝,〃 = ｛一件是正品一件 是次品｝£ = ｛至少有一件是正品｝, 贝U ：基本事件总I 数 死=巧=5x4 = 20;而A 所包含的基本事件数 匕=号=6;B 所包含的基本事件数kH=P ；P ；+P ；P ；=l 匕C 所包含的基本事件数 忍.=尺卅+胃尺+笃2=12+6 = 1& F(4)=^ = —=—; « 20 10P (C) = d』丄.n 20 10— 尸2 O />(C) = 1-P(C) = !-』= —• 20 10 说明：本例中(3)有更简单的求法. 两件都是正品的概率；一件是正品一件是次品的概率;至少有一件是正品的概率.(2) (3) 所以，由公式可求得: k 12 3咖今=影本例中样本空间可以作不同的设计(见P12) 思考:改为放回抽样,绍求又如FFl Pe1.随机抽球问题例3设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率.解：设A = ｛取到一红一白｝解法一：n = C^ 亿答：取到一红一白的概率为3/5・解法二：n = P； =5x4,=尺覺+ E尺=3x2 + 2x3.5x4 5可见：随机抽球问题可以用组合法解,也可以用排列法解.关键是:计算事件概率时保证分子，分母在同一个样本空间下讨论.类似问题：产品检验.抽签问题.福彩摸奖等.在实际中,产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题.我们选择抽型的目的在于便问题的数学意义更加突出,而不必过多地交代实际背景•一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽“个球，则这个球中恰有R个白球的概率是-C爲gw例4设有N件产品,其中有M件次品•今从中任取n 件,问其中恰有k仏＜M｝件次品的概率是多少？解在N件产品中抽取死件的所有可能取法共有种，在W件产品中抽取《件，其中恰有件次品的取法共有g],种，于是所求的概率为P= “ N"2、随机分球(分房)问题例5将3个球随机的放入3个盒子中去，问:(1)每盒恰有一球的概率是多少？(2)空一盒的概率是多少？解：设A=｛每盒恰有一球｝, B=｛空一盒｝(1) n=3\ =3!, P(A) = #. •(2)解法一：(用对立事件)P(B) = 1 - P｛空两盒｝ -卩｛全＜^｝=]— ---- ——=—33 9 36超几何分布的概率公式(2)解法二:(空一盒相当于两球一起放在一个盒子中, 另一球单独放在另一个盒子中)— 2=2 • • •3' 3(2)解法三:(空一盒包括1号盒空,2号合空，三号盒空且其余两盒全满这三种情况)3x(2"-2) 2__ =-3' 3答:每盒恰有一球的概率为2/9;空一盒的概率是2/3・一般地，把死个球随机地分配到N个盒子中去(n M N),则每盒至多有一球的概率是：卩=生N"类似问题:分房问题、生日问题等.') 某班级有W个人(zrV365),问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？n 20 23 30 40 5() 64 100P \ 0.411 0.5073、随机取数问题例6从1到2UU 这2UU 个自然数中任取一个, ⑴求取到的数⑵求取到的数⑶求取到的数/I (< 365)个人生日各不相同的概率为p = 365x364x...x(365-“ + 1) 处口 而ZI 个人中至少有两个人生日在同一天 的概率为• 365x364x …x(365 —《 + 1) p =365"365" 0.997 0.9999997 0.706 0.891 0.970 ©例7在K2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？解设A为事件“取到的数能被6整除”"为事件“取到的数能被8整除”,则所求概率为(AB)・P(AB) = P(A\jB} = 1-P(A U〃)=1 - {P(A) + P(B)一P{AB)}.2000 333因为333< — <334,所以"A) =識,.工2000 心俎ED' 250由于8 =250,故得円旳=20()0-由于83 <2°°° <84,得P{AB)= .24 2()00于是所求概率为P(AH) = 1 - {P(A)+ P(“)-P(A*)}333 250 _ 83 )=32000 十2000 一2000丿"43、分组问题療例8 30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分 成3组，求；（1） 每组有一名运动员的概率；（2） 3名运动员集中在一个组的概率。

解：设A=｛每组有一名运动员｝; B=｛ 3名运动员集中在一组｝ …_厂10厂10厂10U — ^30 ^2（）91030! 20! , —— -X — X 1 I0!x20! lOixlO!30!~ 10! 10! 10! 一般地，把刃个球随机地分成加组（M > ZW ）,要求第i 组恰有码个球（i= 共有分法:30人 /|\ (1)1(2)1 (3)3! 9， 9， 9， 50(1) P(A) = (2)解法一(“3名运动员集中在一个组”包括“3 名运动员都在第一组"3名运动员都在第二组”, “3名运动员都在第三组”三种情况•)厂 r10^^ 10 . 10>^7 10 . 10^^ 10>^7p (〃)= 20^10 十 十 30人 - •…(2)解法二严3名运动员集中在一个组”相当于 “取一组有3名运动员,7名普通队员,其余两组分配 剩余的20名普通队员・)l()!xl0!xl0!答:每组有一名运动员的概率为50/203; 3名运动员集中在一个组的概率为 18/203.(1) (2) (3)例9将15名新生随机地平均分配到三个班级中 去，这27! 30! (10!xl0!xl0!)18203•203P(B) = 3X C2C ：炜 _ 1830! 20315名新生中有3名是优秀生•问(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少？(2) 3名优秀生分配在同一个班级的概率是多少？解15名新生平均分配到三个班级中的分法总数：厂5厂5厂5= 15!JfS _5!5!5!・(1)每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有(31x12!) (4! 4! 4!)种.因此所求概率为_3!xl2! 15! _ 25必=4!4!4! 5!5!5! = 9T(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种，12，对于每一种分法，其余12名新生的分法有伙；门种・2! 0 5!因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有(3x12!) (2! 5! 5!)种，因此所求概率为3x12! 15! _ 6几=2! 5! 5! 5! 5! 5! ^91*4抽签问题见P13例袋中有a口签，b支红签，一次将签•支支抽取取出后不放卜I，求第k次抽到口签的概率（仁kva+b）P（A）= 4S+—°）!=亠（a+方）！ci+bP（A） =年士1.3.3几何概型定义设样本空间是一个有限区域S•若样本点落在S 内任何区域G中的事件A的概率与区域G的测度（长S内任意一点度、面积或体落在区域G内的概率为区域G的测度与区域S的测度的比值，即G的测度（S的测度・这一类概率通常称为几何概率.说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概型.N 口rs常见的几何概率有以下三种情况：(1)设线段Z是线段乙的一部分,向线段/“上任投一点. 则点落在线段/上的概率为/的长度P = --------- —.'L的长度(2)设平面区域g是平面区域G的一部分,向区域G 上任投一点・则点落在区域g上的概率为P_ G的面积g的面积⑶设空间区域P是空间区域V的一部分,向区域V 上任投一点.则点落在区域卩上的概率为y的体积n = ------------- •U的体积例10随机地向区间［0,5］内掷一点，求点落在区间［1,3］的概率.5 ［1,3］的长度2 解卩=［0,5］的长度蔦・会面问题例11甲、乙两人相约在0到卩这段时间内，在预 定地点会面•先到的人等候另一个人，经过时间t ( t<T )后离去•设每人在0到卩这段时间内各时刻 到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不牵 连•求甲、乙两人能会面的概率. 解设**分别为甲、乙两人到騒时刻，那么OS", 0。