1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)2x + x | (1) [——x =2 +x 2-------⑵已知f(X)二-1,则lim _ J 0f (怡—？X)- f(X 。

—X) ⑶设方程0-护=°Cosx 确定定y |0 0 32 L 0 (4)设 A= M M M M 0 0 0 L a n i ⑸设随机变量X 的概率密度另命n 0 0 L F二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)12x 2+x +1(1)曲线y 二e x arctan 的渐近线有()(x+1)(x-2)(A)1 条(B)2 条(C)3 条(D)4 条00200n |an |⑵设常数■ 0,而级数a 2收敛,则级数(-1)n 」2()(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与'有关⑶设A 是m n 矩阵,C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r,矩阵B 二AC 的秩为*，则()(A) r r 1(B) r ::片(C) r = r 1 (D) r 与*的关系由C 而定(4)设 0 vp(A) *1,0 £P(B) £1,P(A B) +P(AB)=1,贝 U ()(A)事件A 和B 互不相容(B)事件A 和B 相互对立为x 的函数，则dy = ___________dx,其中 a 仔0,i=1,2,L ,n,则丄 2x, 0：：x ：1, f(x)二10,其他，『、以丫表示对X 的三次独立重复观察中事件 X 乞-出现的次数,则I 2J(C)事件A 和B 互不独立(D)事件A 和B 相互独立⑸设X 「X 2丄，X n 是来自正态总体N(・2f 2)的简单随机样本2X 是样本均值，记 S T^—Z (X i -X)2, (X i —X)2,n -1 i 二 n i A1 n i nS 2 =——迟(X i -曰2, s 2=—送(X i -巴2,则服从自由度为n 钊■的t 分布的随机变量是Ov(A)t=^ (B)t=^ (C)t=X0(D)t=X/l6 S4三、(本题满分n6分)'、n计算二重积分 I i(x - y)dxdy,其中 D - '(x, y) x 2 y 2 — x y 亿D四、(本题满分5分)「V "+4V "+4V = 0-tc设函数"满足条件y(o —y(O"4求广义积分oV(x)dx.五、(本题满分5分)已知 f (x, y) = x 2 arcta n#_y 2arcta n 二 求 —x y exey 六、(本题满分5分)设函数 f (x)可导,且 f(0) =O,F(x) x t n 」f (x n -t n )dt ，求 lim 卩^)0 ^^0 x 七、(本题满分8分)y = ln x 在点(x o , y o )处有公共切线，求: (1)常数a 及切点(x o , y o )；⑵两曲线与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积V x . 八、 (本题满分6分)假设f (x)在［a,二)上连续,f (x)在a,内存在且大于零，记F(x)=空上他— a), x -a证明F(x)在a, V 内单调增加• 九、 (本题满分11分)设线性方程组已知曲线y 二a 、、x(a 0)与曲线X i +a 2X 2 +a ；X 3 = a 2,X i a 3X 2 a ；X 3 二 a 3,⑴证明:右印,比,玄,印两两不相等4X 则此线性方程组无解;= a4=-k （k^O ）且已知P i J?2是该方程组的两个解 「-1〕 「1〕X = | 1，^2 = | 1，Ji十、（本题满分8分）0 0 1]设A = x 1 y 有三个线性无关的特征向量，求X 和y 应满足的条件.1 0 0十、（本题满分8分）假设随机变量X 1,X 2,X 3,X 4相互独立，且同分布P 〈X j =0.；=0.6,P 〈X j =1.；=0.4（i =1,2,3,4）, X 1 X 2求行列式X =的概率分布•X 3 X 4十二、（本题满分8分）假设由自动线加工的某种零件的内径 X （毫米）服从正态分布N （»1）,内径小 于10或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合 格品亏损.已知销售利润T （单位:元）与销售零件的内径X 有如下关系：-1, X <10, T =三20, 10 EX 乞12,1-5, X >12.问平均内径■取何值时，销售一个零件的平均利润最大？1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.） （1）【答案】In 3【解析】利用被积函数的奇偶性，当积分区间关于原点对称，被积函数为奇函数 时,积分为（2）设 a i = = k, a ? 写出此方程组的通解•，其中a 10 - a<H0【解析】由分块矩阵求1⑷【答案】a 201和所以,本题对A 分块后可得 ⑸【答案】—-64【解析】已知随机变量做的运算性 :1an 4a2|0加B 「 [B a 0*一.■if 1]1率吊X 、兰一》= f 2xdx2j LX 的概率密度「1二项分布的概率参数后，故Y~B(3,).42由二项分布的概率计算公式，所求概率为14丿14丿64an 4 0 ；被积函数为偶函数时，可以化为二倍的半区间上的积分.所以知：422 In 6 -1n 2 = In 3.⑵【答案】1x所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式，从而求得极限值.由于f (x- 2x) - f(x- x)limX —xf (x ° -2x) - f (x °) - f (x ° -x) + f (X 0)=limXXf(x 。

-2x) - f (x 。

) = (-2)lim lim T _2x T x 1 所以原式=lim 1 .T f(X °；2x)— f(X 。

—X) 1⑶【答案】y —空异严xe +2y【解析】将方程e xy y 2cosx 看成关于x 的恒等式，即y 看作x 的函数.2x2原式.，厂7dx ，/ X2 dx = 2 --- dx2 x22 x 22=ln (2 x 2)【解析】根据导数的定义，有f(X 。

)=啊f (X 0X) f (X)f(X0-X)— f(X0)= _2f(X 0)f (x °)=1.-2x X 方程两边对x 求导，得1 I|0e y(y%3+2y 乔 【相关知识点两函数乘积的求导公— sinx= y =* sinxxe xy+ 2y〔f(x) g(x) = f (x) g(x) f (x) g (x).III 0III 01 「求得【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若 Y 、B( n,p),则 P9 =k ；=C n k p k (1-p 严，k =0,1,川，n ,二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(B) 【解析】本题是关于求渐近线的问题12采 4 X X 1 二 由于 lim e x arctan F (x+1)(x_2) 4 TT故y 为该曲线的一条水平渐近线•又 lim e^ arctan —XX—1x )0(x 1)(x-2)故x =0为该曲线的一条垂直渐近线，所以该曲线的渐近线有两条 故本题应选(B).【相关知识点】水平渐近线：若有lim f(x)二a ,则y=a 为水平渐近线；x铅直渐近线：若有x m a f(x)=°o ,则x = a 为铅直渐近线；斜渐近线：若有a =lim 丄(勺，b =lim[ f (x)-ax]存在且不为二，则y = ax • b为 x x ~?t斜渐近线.(2) 【答案】(C)(3) 【答案】(C)【解析】由公式r(AB)'mi n(r(A),r(B))，若 A 可逆，则【解析】考查取绝对值后的级数.因(-止I：n 2 - ■ 12 11 a n 2 一2 2 n 2J 2 .丄2 2n 2(第一个不等式是由a _0,b _0,ab —(a 2 b 2)得到的.)1 22001收敛,(此为p 级数：—-当p 1时收敛；当p - 1时发散.) n (讪务丨又& a ；收敛n#n#2nnJ所以送1a n2+2收敛,由比较判别法 得瓦 n i 22nn=±故原级数绝对收敛，因此选(C).收敛.r(AB)汀(B)二 r(EB) =r[A 」(AB)]汀(AB).从而r(AB) =r (B),即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩 所以选(C). ⑷【答案】(D)【解析】事实上，当0 ::: P(B) ：：：1时,P(A|B)二P(A|B)是事件A 与B 独立的充分必要条件，证明如下：若 P(A|B)二 P(A|B),则P(AB) =P(B) [P(AB) P(AB)] =P(B)P(A),由独立的定义，即得A 与B 相互独立.若A 与B 相互独立,直接应用乘法公式可以证明P(A|B)二P(A|B).P(A| B) =1 _P(A|B) =P(A|B).由于事件B 的发生与否不影响事件 A 发生的概率，直观上可以判断A 和B 相 互独立. 所以本题选(D). (5)【答案】(B)【解析】由于X i ,X 2,lH,X n 均服从正态分布Nd ，根据抽样分布知识与t 分 布的应用模式可知变量-爲服从自由度为n的t分布，记作“)• 因此应选(B).P(AB) P(B) P(AB)1 -P(B),P(AB) - P(B)P(AB)二 P(B)P(AB), __X , L N(o,i)，其中 X =-^ X i,应宀LX ,吩(n-1), | X I ■ (Xi -X)2t(n r)：1 yS2:设xLI N(0,1),Y L E 2(n),且X,Y 相互独立，则随机i =4X - Jc 2【解析】方法i :由x 2y^ x y i ，配完全方得i i令x rcos^y r sin r,引入极坐标系(r/'),则区域为2兀rl故！)(x y)dxdy = o dT °2 (i rcosr r sinT) rdr为圆域223D i 二(u,v)|u v <-.而x ■ y 二u v 1，则有dxdy 二dudv ,代入即得由于区域D i 关于V 轴对称，被积函数u 是奇函数，从而..ududv 二0.四、(本题满分5分)【解析】先解出y(x),此方程为常系数二阶线性齐次方程，用特征方程法求解.方程y ' 4y ，4y =0的特征方程为2^0 解得^--2.故原方程的通解为y =(G C 2X)e,由初始条件 y(0) =2, y(0)「-4 得 G =2,C 2 =0, 因此微分方程的特解为y = 2e.D = 2(re)0兰日兰2冗,0 "已号学=_ 02务 +_ i 3(cos — sin 忙 2二 i 0 d「2 i号(sin B _co 曲)0兀 方法2 :由x 2ySi ： x y i,配完全方得 3.2 2 x 一I 2丿I1 i引入坐标轴平移变换：u =x - ,v =y -,则在新的直角坐标系中区域 D 变II (X y)dxdy= (u v i)dudv = ududv 亠 1 ivdudv 亠 11 dudv .DD iD iD iD i3 同理可得 iivdudv=0,又 11dudv = D i ,Di“2D i3故 II (X y)dxdy 二D i再求积分即得［y(x)dx=L 2e'xdx-2x-2xeb-i.【相关知识点】用特征方程法求解常系数二阶线性齐次方程y py q^ 0 :首先写出方程、py ，qy =0的特征方程：r 2• pr • q = 0，在复数域内解出 两个特征根nr ； 分三种情况：(1)两个不相等的实数根io,则通解为y-Ge^ C 2e r 2X ;⑵两个相等的实数根r i 二D ,则通解为y 二G • C 2X e rX l; ⑶一对共轭复根 辰二^土*,则通解为y = eW(Gcos0x+C 2sin P x ). 其中C i ,C 2为常数. 五、(本题满分5分)再对y 求偏导数即得2x 1 2x 2 , x 2 - y 21 — __ _ 1 _-- 2 2 2 2 2 ・沖〔 +x+y x+y【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数 u 二(x, y),^ !，(x,y)都在点(x, y)具有对x 及对y 的偏导数，函数z = f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z = f ( (x, y)「(x, y))在点(x, y)的两个偏导数存在，且有u v f 1 f 2 -X :Xf 1 二 f 2 卫 If 厶 f :y :y【解析】运用换元法，令x n -t n = u,则\n4f z n +n1 x nn4 _ n、【解析】由复合函数求导法f丿——=2xarcta n — ，首先求丄，由题设可得 玫2；X - ex x 2 xarctan^ -学x x yy~2 " X3丿 y _2 , 2x yy 211#“ y. y = 2xa 「ctan — --2C:z :z : u : z :vX :u :X : v :X:z _ :z :u :z :v _ :y ：u :y :v : y六、(本题满分5分)t f (x —t )dt = - J f (u)du= F (x) = x f (x ).n 0”型的极限未定式，又分子分母在点0处导数都存在，运由于四为 用洛必达法则，可得由导数的定义有原式诂「(°). 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式:I ，(t) 一若 F(t) = (t)f(x)dx 」(t), ：(t)均一阶可导，则讹)F ⑴二■-⑴f 匸⑴⑴n ：(t)i.七、(本题满分8分)【解析】利用(X o ,y 。