x 37.45% 37.20% 37.50% 37.30% 37.25% 37.34% 5
n
d
di
i 1
0.11 0.14 0.16 0.04 0.09 % 0.11%
n
5
n
s
d
2 i
i 1
(0.11)2 (0.14)2 (0.16)2 (0.04)2 (0.09)2 100% 0.13%
(1.6380－1.6381) g = －0.0001 g (0.1637－0.1638) g = －0.0001 g 两者称量的相对误差分别为：
0.0001 100% 0.006% 1.6381 0.0001 100% 0.06% 0.1638
绝对误差相等，相对误差并不一定相同。
误差及数据分析的统计处理
n 1
5 1
CV s 0.13 100% 0.35% x 37.34
误差及数据分析的统计处理
误差的分类及减免误差的方法
系统误差或称可测误差(Determinate Error) 偶然误差或称未定误差、随机误差(Indeterminate Errors)
1. 系统误差产生的原因、特点及减免
系统误差的特点
s
n
n
2
xi
x 2 i1
i 1
n
n 1
s与平均值之比称为相对标准偏差，以 sr 表示:
sr
s x
100%
也可用千分率表示(即式中乘以1000‰)。如以百分率表示又称 为变异系数 CV (Coefficient of Variation)。
误差及数据分析的统计处理
已知两组数据，比较精密度好坏
误差及数据分析的统计处理
准确度与精密度的关系
精密度 好 好 差 很差
准确度 好 稍差 差
偶然性
精密度是保证准确度的先决条件； 精密度高不一定准确度高； 两者的差别主要是由于系统误差的存在。
误差及数据分析的统计处理
例： 分析铁矿中铁含量，得如下数据：
37.45% , 37.20% , 37.50% , 37.30% , 37.25% 计算此结果的平均值、平均偏差、标准偏差、变异系数。 计算：
相对误差表示误差占真值的百分率或千分率。
误差及数据分析的统计处理
2. 准确度 (1) 测定平均值与真值接近的程度; (2) 准确度高低常用误差大小表示,
误差小，准确度高。
误差及数据分析的统计处理
例1： 分析天平称量两物体的质量各为1.6380 g 和0.1637 g，假
定两者的真实质量分别为1.6381 g 和0.1638 g，则两者称量 绝对误差分别为：
(1)重复性：同一条件下，重复测定中，重复地出现； (2)单向性：测定结果系统偏高或偏低； (3)可校正性：其大小可以测定，可对结果进行校正。
误差及数据分析的统计处理
产生原因
（1）方法误差(Method Errors): ——对照实验 如反应不完全；干扰成分的影响；指示剂选择不当； 对照试验：选择一种标准方法与所用方法作对比或选择与 试样组成接近的标准试样作试验，找出校正值加以校正。 （2）仪器和试剂误差： ——空白实验 试剂或蒸馏水纯度不够； 空白试验：指除了不加试样外，其他试验步骤与试样试验 步骤完全一样的实验，所得结果称为空白值。
千分率。
di xi x
dr
xi x x
100%
误差及数据分析的统计处理
算术平均偏差（Average Deviation）：
d
1 n
n i 1
di
1 n n i1
xi x
相对平均偏差表示为:
dr
d x
100%
误差及数据分析的统计处理
2. 标准偏差（Standard Deviation） 又称均方根偏差，当测定次数趋於无限多时，称为总体标准
所得结果之间的一致程度。精密度的大小常用偏差表示。 （2）精密度的高低还常用重复性（Repeatability）和再现性
（Reproducibility）表示。 重复性(r)：同一操作者，在相同条件下，获得一系列结果
之间的一致程度。 再现性(R)：不同的操作者，在不同条件下，用相同方法获
得的单个结果之间的一致程度。 （3）用标准偏差比用算术平均偏差更合理。
误差及数据分析的统计处理
（3）操作误差 例 ： 分 析 天 平 ， E=±0.0001g ，
常用纯物质的理论值、国家标准局提供的标准参考物质的证 书上给出的数值、或多次测定结果的平均值当作真值;
误差及数据分析的统计处理
偏差(Deviation)与精密度(Precision)
1. 偏差 个别测定结果 xi 与几次测定结果的平均值的差。 绝对偏差 di：测定结果与平均值之差； 相对偏差 dr：绝对偏差在平均值中所占的百分率或
甲 0.3 -0.2 -0.4 0.2 0.1 0.4 0.0 -0.3 0.2 -0.3 乙 0.0 0.1 -0.7 0.2 -0.1 -0.2 0.5 -0.2 0.3 0.1
解：
d甲 = 0.24 d乙 = 0.24
s甲 =0.28 s乙 = 0.28
误差及数据分析的统计处理
3. 精密度 （1）精密度：在确定条件下，将测试方法实施多次，求出
3. 说明 (1) 绝对误差相等，相对误差并不一定相同; (2) 同样的绝对误差，被测定的量较大时，相对误差就比较小, 测定的准确度也就比较高; (3) 用相对误差来表示各种情况下测定结果的准确度更为确切; (4) 绝对误差和相对误差都有正值和负值。正值表示分析结果 偏高，负值表示分析结果偏低; (5) 实际工作中，真值实际上是无法获得;
偏差，用σ表示如下：
n
(x )2
i1
n
μ为总体平均值，在校正了系统误差情况下，μ即代表真值； n 为测定次数。
有限次测定时，标准偏差称为样本标准差，以 s 表示：
n
(xi x)2
s i1 n -1
(n-1) 表示 n 个测定值中具有独立偏差的数目，又称为自由度。
误差及数据分析的统计处理
用下式计算标准偏差更为方便：
误差及数据分析的 统计处理
误差及数据分析的统计处理
定量分析中的误差
误差(Error)与准确度(Accuracy)
1. 误差——测定值xi与真实值μ之差 误差的大小可用绝对误差 E(Absolute Error)和相对误
差 RE (Relative Error)表示。
E = xi－μ
RE xi 100%