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《一次函数的图像和性质》PPT


例1.已知关于x的一次函数y=(2k-1)x+(2k+1). (1)当k满足什么条件时,函数y的值随x的值的增大而 增大? (2)当k满足什么条件时,y=(2k-1)x+(2k+1)的图像经 过原点? (3)当k满足什么条件时,函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图 像与y轴的交点在x轴的下方? (4)当k满足什么条件时,函数y的值随x的值的增大而 减小且函数图像与y轴的交点在x轴的上方?
1 2
自变量x的取值范围为:0≤x≤8. 函数图像如图:
O
x
y 4 3 2 1 4 - - - O 3 2 1 1 2 3 1
y=2x+ 3
y=2x+4y 4 3 2 1 4 - - - O 3 2 1 1 2 3 1 2 3 4 x
2 3 4 x
哪些函数,y的值是随x的值的增大而增大的?
哪些函数,y的值是随x的值的增大而减小的?
对于一次函数y=kx+b(k,b为常数,且 k≠0):
当k>0时,y的值随x的值的增大而增大;
当k<0时,y的值随x的值的增大而减小.
哪些函数的图像与y轴的交点在x轴的上方,哪些函数 与y轴的交点在x轴的下方? 函数的图像与y轴的交点在x轴的上方和函数的图像与 y轴的交点在x轴的下方,这两种函数,它们的区别与 常数项有怎样的关系? 正比例函数的图像一定经过哪个点?
(2)以(1)中得到的每对对应值分别为横坐标和纵坐标, 在图中所示的直角坐标系中,描出相应的点.
y
(3)把(2)描出的点依次用平滑曲 线连接起来,就得到y=2x-1的图 像. (4)一次函数y=2x-1的图像的形 状是怎样的?
4
7 6 5 4 3 2 1 (1,1) - - - O 1 2 3 4 x 3 2 1 - (0,-1) 1 2 (-1,-3) 3 4 (-2,-5) 5 6 (-3,-7) 7 (2,3) (3,5)
一般地,一次函数y=kx+b的图 像为一条直线.因此,我们把一 次函数y=kx+b的图像也称为直 线y=kx+b. 在画一次函数的图像时,只要 确定出两个点,再过这两点画 直线就可以了.
解:当x=0时,y=1.y 21来自(0,1) (2,0)
O
1
2
x
练习 1. 在同一直角坐标系中,画出y=x和y=1-x的图像. 解析: 当x=0时,函数y=x=0;函数y=1-x=1. 当x=1时,函数y=x=1;函数y=1-x=0. 所以在坐标系中,过点(0,0),(1,1)做直线,即 可得一次函数y=x的图像;过点(0,1),(1,0)做直线, 即可得一次函数y=1-x的图像,如图:
(1)在同一个直角坐标系中画出这两个函数的图像. (2)它们的图像有公共点吗?如果有,请写出公共 点的坐标.
解析: y=-5x+2 (1) y=-5x+2的函数图像经过点(0,2), (1,-3),过这两点做直线,即为y=y 5x+2的函数图像; (0,2) y=x-10的函数图像经过点(0,-10), (2,-8),过这两点做直线,即为y=O 5x+2的函数图像. (2)由图可知,这两个函数图像有公共 点,由表可知,其公共点坐标为(2,-8) (或者联立这两个函数,令-5x+2=x-10, 解得x=2,y=x-10=-8).
学习目标:
1.经历作图过程,初步了解作函数图 像的一般步骤; 2.理解一次函数的代数表达式与图像 之间的对应关系; 3.能较熟练作出一次函数的图像.
精讲:
已知函数的表达式,通过列表、描点和连线,可以在 直角坐标系中画出这个函数图像。 已知一次函数y=2x-1. (1)填写下表:
x x yy … … … … -3 -3 -7 -2 -2 -5 -1 -1 -3 0 0 -1 1 1 1 2 2 3 3 3 5 … … … …
(0,10) (1,-3)
x
y=x10 (2,-8)
2. 今有一根弹簧,不悬挂重物时的长度为12cm,悬 挂的重物每增加1kg(重物不超过8kg),弹簧的长度就 增加0.5cm.写出弹簧长度y(cm)和悬挂物的质量x(kg) 之间的函数关系式,指出自变量的取值范围,并画出 这个函数的图像. y
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解析: (1)当2k-1>0时,y的值随x的值增大而增大. 解2k-1>0,得:k>0.5. (2)当2k+1=0,即k=-0.5时,函数y=(2k-1)x+(2k+1)的 图像经过原点. (3)当2k+1<0,函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图像与y轴的 交点在x轴的下方. 解2k+1<0,得k<-0.5. (4)当2k-1<0时,y的值随x的值增大而减小.解得:k < 0.5. 当2k+1> 0,函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图像与y轴的 交点在x轴的上方.解得k> -0.5. 所以此时k的取值范围为(-0.5,0.5).
y=1-x y y=x
2
1 (1,1)
O
1
2
x
y 1
O
1
2
x (2,-1)
-1
观察
比较两个函数的相同点与不同点.
归纳
两图象都是经过原点的 直线 正比例函数y= kx (k≠0) 的图象是经过原点(0,0)和 点(1,k)的一条直线。
典型题析:
1. 填表并观察下列两个函数的变化情况.
x y=x-10 y=-5x+2 … … … -2 -12 12 -1 -11 7 0 -10 2 1 -9 -3 2 -8 -8 … … …
y 4 3 y=2x+ 3 y=2x+4y 4 3 2 1 1 2 3 4 x 4 - - - O 3 2 1 1 2 3 1 2 3 4 x
2
1
4
- - - O 3 2 1 1 2 3
事实上,一次函数y=kx+b的图像是经过y 轴上的点(0,b)的一条直线.当b>0时, 点(0,b)在x轴的上方;当b<0时,点(0, b)在x轴的下方;当b=0时,点(0,0)是原 点,即正比例函数y=kx的图像是经过原点 的一条直线.
y的值随x的增大而增大和y的值随x值的增大而减小两 种函数,它们的区别和自变量系数的符号有怎样的关 系? y=y 4 3 2 1 4 - - - O 3 2 1 1 2 3 1 y=2x+ 3
2x+4y
4 3 2 1 4 - - - O 3 2 1 1 2 3 1
2 3 4 x
2 3 4 x
一般地,我们有:
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