当前位置:文档之家› 正态总体的假设检验

正态总体的假设检验

(Xi μ)2
n
(Xi μ)2
P { i1
σ
2 0
χ
2 1
α 2
(
n)}
P{
i 1
σ
2 0
χ
2
α
(
n)}
α
2
所以拒绝域为: W
{
χ2
χ
2 1
α 2
(
n)
,χ
2
χ
2
α
(n)
}
2
2. μ未知时,总体方差σ2的假设检验 χ2 检验法
类型 原假设 备择假设
H0
H1
检验统计量
双边 检验
σ2
σ
2 0
σ2
得s=0.007欧姆.设总体服从正态分布,参数均未知,
问在显著性水平α=0.05下,能否认为这批导线的
标准差显著地偏大?
解: s2 0.0072 0.0052
原假设 H 0 : σ 2 0.0052,备择假设 H1 : σ 2 0.0052
检验统计量: χ 2 (n 1)S 2
σ2
拒绝域:
第二节 正态总体的假设检验
一、单一正态总体均值μ的假设检验
二、单一正态总体方差σ2的假设检验 三、两个正态总体均值的假设检验 四、两个正态总体方差的假设检验
一、单一正态总体均值μ的假设检验
设总体X~N (, 2). X1 , X2 , … , Xn是取自X的样本,
样本均值 X样,本方差S2
1.已知
T t(α n 1)
例1. 设某次考试的考生的成绩服从正态分布,从中随
机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标 准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在 这次考试中全体考生的平均成绩为70分?
解: 原假设 H0 : μ 70, 备择假设 H1 : μ 70
检验统计量: T X μ0
n)
2
χ2
χ
2 α
(n)
χ2
χ
2 1α
(n)
推导(双边检验情形) :
当H0为真时,
χ2
i
n 1
X i μ0 σ0
2
~
χ 2 (n)
此时,因为 1 n ( X i μ0 )2 是σ2的无偏估计量,
n i1
σ0
拒绝域应表现为 χ 2 n ( X i μ0 )2偏小或偏大,
i 1
σ0
P{拒n绝H0|H0为真}
双边 检验
原假设 H0
1 2
单边 检验
1 2 1 2
备择假设 检验统计量 H1
1 2 1 > 2 1 < 2
U X Y
σ12
σ
2 2
n1 n2
拒绝域
U zα
2
U zα
U zα
2.σ12
,σ
2未知,但
2
σ12
σ
2 2
时,总体均值的假设
检验
T 检验法
类型 原假设 备择假设 检验统计量
H0
检验统计量: T
11
n1 n2
X Y
(n1
1)S12
(n2
1)
S
2 2
n1 n2 2
拒绝域: W { T t(α n1 n2 2)}
2
n1 7, x 140.7143, s12 6.5714,
n2 6, y 138.5
s22 7.1
α=0.10
t(α n1 n2 2) t0.0(5 11) 1.7989
Sn
拒绝域: W { T t(α n 1)}
2
n=36, α=0.05,
tα / 2 (n 1) t0.025 (35) 2.0301
W { T tα / 2 (n 1)} {| T | 2.0301} t x μ0 66.5 70 1.4 2.0301
s n 15 / 36
W {U zα } {U 1.645}
u x μ0 0.088 0.095 1.5652 1.645 σ0 / n 0.02 / 20
因为 u W , 所以接受H0,
在显著性水平0.05下,认为调整后机床加工轴 的椭圆度的均值无显著降低.
例3.某种电子元件,要求使用寿命不得低于1000
第一批:140,138,143,142,144,137,141
第二批:135,140,142,136,138,140.
设这两个相互独立的总体都服从正态分布,且方差相同,
试判断这两批学生的平均身高是否相等(α=0.10 )。
解: 原假设 H 0 : μ1 μ2 , 备择假设 H1 : μ1 μ2 ,
有无显著降低? (α 0.05)
解: x 0.088 0.095
原假设H 0 : μ 0.095, 备择假设H1 : μ 0.095
由σ2 =0.022知,检验统计量为 U X μ0
拒绝域: W {U zα }
σ0 / n
n=20,α=0.05, zα z0.05 1.645
H1
拒绝域
双边 1 2
检验
单边 1 2
检验
1 2
1 2 1 > 2 1 < 2
T (X Y ) 11 n1 n2 Sw
S
2 w
(n1
1)S12
(n2
1)
S
2 2
n1 n2 2
T t(α n1 n2 2)
2
T t(α n1 n2 2)
T t(α n1 n2 2)
例6.测得两批小学生的身高(单位:厘米)为:
因为 t W 所以接受H0,
在显著性水平0.05下,可以认为在这次考试 中全体考生的平均成绩为70分。
例2.一台机床加工轴的椭圆度 X 服从正态分布
N(0.095,0.022)(单位:mm)。机床经调整后随机取
20根测量其椭圆度,算得 x 0.088 mm 。已知总
体方差不变,问调整后机床加工轴的椭圆度的均值
解: x 174.34,y 172.42, x y,
原假设 H 0 : μ1 μ2 , 备择假设 H1 : μ1 μ2 ,
σ12 5.352 ,
σ
2 2
6.112 ,
检验统计量: 拒绝域:
U X Y
σ12
σ
2 2
n1 n2
W {U zα }
α 0.05, zα z0.05 1.645
拒绝域: W {U zα }
σ0 / n
n=25 , α=0.05, zα z0.05 1.645
W {U zα } {U 1.645}
u x μ0 950 1000 2.5 1.645 σ0 / n 100/ 25
因为 u W 所以拒绝H0,
在显著性水平0.05下,认为这批元件不合格.
统计中把拒绝域在某个区间的某一侧的检验称为单
边检验(这里是区间 ( zα,zα) 的某一侧)
这里由于使用的是服从正态分布的 U 统计量来 进行检验,也称为U 检验法(或正态检验法)。
U 检验法 (02已知)
类型
双边 检验
原假设 H0
0
单边 检验
0 0
备择假设 H1
0
> 0
< 0
检验统计量 U X μ0
二、单一正态总体方差σ2的假设检验
1.已知 μ μ0 时,总体方差σ2的假设检验
χ2 检验法
类型 原假设 备择假设
H0
H1
检验统计量
双边
检验
σ2
σ
2 0
σ2
σ
2 0
单边
σ2
σ
2 0
σ2
σ
2 0
检验
σ2
σ
2 0
σ2
σ
2 0
χ2
n
i 1
Xi σ0
μ0
2
拒绝域
χ2
χ
2 1
α
(
n)
2
χ2
χ
2
α
(
三、两个正态总体均值的假设检验
X1 , X 2 , , X n1
为取自总体
N
(
1
2 1
)
的样本,
Y1 ,Y2 , ,Yn2
为取自总体 N
(
2
2 2
)
的样本,
且两总体相互独立。
X , S12 ;
Y
,
S
2 2
分别表示两样本的样本均值与样本方差
1.已知
σ12
,σ
2 2
时,总体均值的假设检验
U 检验法
类型
P{拒绝H0|H0为真} P ( X μ0 k μ μ0 )
P{| X μ0 | k } P{| U | k } α
σ0 n σ0 n
σ0 n
所以
k σ0
n zα/2,
即: P{| U | zα / 2 } α
由此知,拒绝域为: W {| U | zα / 2 }
统计中把拒绝域在某个区间的两侧的检验称为双边 检验(这里是区间( zα / 2,zα / 2)的两侧) (2) μ的单边检验:
(a) 原假设 H 0 : μ μ0 , 备择假设 H1 : μ μ0
检验统计量: 拒绝域为:
U X μ0 σ0 n
W {U zα }
(证明略)
(b) 原假设 H 0 : μ μ0 , 备择假设 H1 : μ μ0
检验统计量: 拒绝域为:
U X μ0 σ0 n
W {U zα }
16.919
W { χ 2 3.325,χ 2 16.919}
2
s2 87.6823
χ2Biblioteka (n1)S σ22
相关主题