第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。因为乌 龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论 的逻辑，乌龟者在他的前面。
这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。
第三、第四悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成。第三个 悖论是说“飞矢不动”，因为在某一时问间隔，飞矢总是在某个 空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。第四个悖论是游行队 伍悖论，内容大体相似。
2020/12/17
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
2020/12/17
微积分产生的背景
▪ 从埃及尼罗河沿岸每年丈量土地开始，人们就 在寻求一种计算不规则图形面的方法
▪ 众多科学家意识到其中有个“幽灵”说不清道 不明，其代表人物：阿基米德，芝诺，欧道克 斯，庄子，刘徽
▪ 许多迫切待解决的问题摆在数学家面前：描述 变速运动？曲线的切线？曲线的长度？曲面的 面积？曲面围成的多面体的体积？极大极小问 题？等等
一， 他把【证明】这个概念引入了数学。证明 现在普遍被看做是数学最基本的精神，我们甚 至很难想像先于数学推理的阶段是什么。
二， 他意识到了无理数的存在。当然，他不知道 “无理数”这个称呼，他也无可抑制的对这个他 无法控制的数感到恼火---自然他也就避开了它。
2020/12/17
伟大的毕达哥拉斯
▪ 毕达哥拉斯：古希腊数学家，公元前580至 公元前497，青年的他游历许多地方，并到 埃及印度留学。他深入民间收集点点滴滴 的数学知识，最后学有所成并形成一个学 派，史称毕达哥拉斯学派，对数学，天文 学有巨大贡献。毕达哥拉斯学派认为任何 数都可以表达成二个整数的商，即任意数 都是可以度量的。
鱼 。希帕索斯的发现引发了第一次数学危机。
2020/12/17
第一次数学危机的产物—古典逻辑与欧氏几何学
当然真理是毕达哥拉斯无法扔到爱琴海 喂鱼的，之后100年，柏拉图的学生用 公理化的办法处理了这个问题。但是不 知道是因为数学家也害怕被扔到爱琴海 喂鱼呢，还是因为失去了对整数的信仰， 整个希腊数学自此开始转向了研究几何 图形的问题，毕竟几何图形避免了数打 交道，从而有了欧氏几何。
王蒙 回想童年时代花的时间一大部分用在做 数学题上，这些数学知识此后直接用到 的很少，但是数学的学习对于我的思维 的训练却是及其有益的。时隔半个多世 纪了，有时看到上中学的孙子有数学题 做不上来，我仍然喜欢拿到一边去做， 与我上数学课的时间已经相隔半个多世 纪了，多数情况下我仍能做出来，并从 中得到极大的快乐。
2020/12/17
大约公元前５世纪，不可通约量的发现 －－－－ 毕达哥拉斯悖论
▪ 毕氏的学生、学者希帕索斯发现直角三角形直角 边都取1，则斜边就不可度量，与毕氏理论产生 矛盾
▪ 毕氏也发现不可通约量的存在 ▪ 学派进入两难境地，学派内部所有成员立誓保密，
因而无理数有个外号“不可说”（Alogon) ▪ 希帕索斯说了，学派就此开始瓦解。 ▪ 学派解决矛盾的方法是把希帕索斯抛进爱琴海喂
▲如果你想当经济学家，药学家，化学家， 数学是 统计分析工具 ▲你想当物理学家，数学是微积分 ▲你想当计算机专家，数学是算法语言 ▲你想当建筑学家，数学是几何三视图 ▲你想当数学家，数学就是你的世界 ▲如果你不幸什么都当不了，小心数学就是你的克星!
2020/12/17
数学学什么？
古希腊：----------------“万物皆数” 毕达哥拉斯学派
数学是什么？
●“在进入大学前的十载岁月里，我未接触到应试数学的 半点光彩。我们始终向着高考这个终点在一程程地接力 跑，手中的接力棒是学校里所学的基础数学知识。当我 们抵达终点时，尽情享受胜利的喜悦，而那比赛中象征 传递延续的接力棒则早已被人遗忘。这就是我所学的数 学，为分数而做、为功利而学。” （英语系）
2020/12/17
牛顿与莱布尼兹各自独立发明微积分
▪ 牛顿与微积分 ▪ 莱布尼兹与微积分 ▪ 英德之间的历史公案
2020/12/17
1665年夏天，因为英国爆发鼠疫，剑桥大学暂时关闭。 刚刚获得学士学位、准备留校任教的牛顿被迫离校到他母亲 的农场住了一年多。这一年多被称为“奇迹年”，牛顿对三 大运动定律、万有引力定律和光学的研究都开始于这个时期 。在研究这些问题过程中他发现了他称为“流数术”的微积 分。他在1666年写下了一篇关于流数术的短文，之后又写 了几篇有关文章。但是这些文章当时都没有公开发表，只是 在一些英国科学家中流传。
这说明希腊人已经看到无穷小与“很小很小”的矛盾。当然他 们无法解决这些矛盾。
2020/12/17
无穷小分割是主要方法
▪ 无穷小分割求和： ▪ 关于切线：笛卡儿与费尔玛认为是两个交点重合
时的割线。罗伯瓦等认为是描绘曲线的运动在这 点的方向 ▪ 众多数学家加入到这场争论中，拉开流数术和微 分法的序幕 ▪ 费尔玛是除去牛顿莱布尼兹外做得最多的人，他 走到大门口，但没有进入。主要是他没有它的理 论与求积的关系
●“随着年龄的增长，学习的深入，在我对数学的兴趣 中渐渐渗入了一种叫做‘恐惧与无助’的滋味。数学 题目的解出与否不再是无关紧要的事情，它关乎一场 考试的成败，甚至是人生的成败。于是，我感到了压 力，在经过了无数场机械化的操练、在经历无数场考 试、在做遍千万份试卷后，数学对我而言，终于成为 2020了/12/一17 项任务，还有一些厌恶。” （日语系 ）
2020/12/17
古希腊的数学中除了整数之外，并没有无理数的概念，连有理数 的运算也没有，可是却有量的比例。他们对于连续与离散的关系 很有兴趣，尤其是芝诺提出的四个著名的悖论：
第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必 须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下 去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。
2020/12/17
万物皆数
▪ 他们把线段的长度看作是线段锁包含的原子数 目，因而任意两条线段长度之比就是它们各自 原子数之比。
▪ 由此观点出发，毕氏研究了音乐美术天文地理。 ▪ 应用在数学上，从埃及的黄金三角形（各边之
比为3：4：5）发现5：12：13，8：15：17， 这就是中国说的“勾股定理” ▪ 它们只相信直角三角形的三边之比都应该是整 数比