实验二 数字PID 控制计算机控制是一种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差值计算控制量。
因此连续PID 控制算法不能直接使用，需要采用离散化方法。
在计算机PID 控制中，使用的是数字PID 控制器。
一、位置式PID 控制算法按模拟PID 控制算法，以一系列的采样时刻点kT 代表连续时间t ，以矩形法数值积分近似代替积分，以一阶后向差分近似代替微分，可得离散PID 位置式表达式： 式中，D p d I pi T k k T k k ==,，e 为误差信号（即PID 控制器的输入），u 为控制信号（即控制器的输出）。
在仿真过程中，可根据实际情况，对控制器的输出进行限幅。
二、连续系统的数字PID 控制仿真连续系统的数字PID 控制可实现D/A 及A/D 的功能，符合数字实时控制的真实情况，计算机及DSP 的实时PID 控制都属于这种情况。
1．Ex3 设被控对象为一个电机模型传递函数BsJs s G +=21)(，式中J=,B=。
输入信号为)2sin(5.0t π，采用PD 控制，其中5.0,20==d p k k 。
采用ODE45方法求解连续被控对象方程。
因为Bs Js s U s Y s G +==21)()()(，所以u dt dy B dty d J =+22，另y y y y ==2,1，则⎪⎩⎪⎨⎧+-==/J)*u ((B/J)y y y y 12221 ，因此连续对象微分方程函数如下 function dy = ex3f(t,y,flag,para)u=para;J=;B=;dy=zeros(2,1);dy(1) = y(2);dy(2) = -(B/J)*y(2) + (1/J)*u;控制主程序clear all;close all;ts=; %采样周期xk=zeros(2,1);%被控对象经A/D 转换器的输出信号y 的初值e_1=0;%误差e(k-1)初值u_1=0;%控制信号u(k-1)初值for k=1:1:2000 %k 为采样步数time(k) = k*ts; %time中存放着各采样时刻rin(k)=*sin(1*2*pi*k*ts); %计算输入信号的采样值para=u_1; % D/AtSpan=[0 ts];[tt,xx]=ode45('ex3f',tSpan,xk,[],para); %ode45解系统微分方程%xx有两列，第一列为tt时刻对应的y，第二列为tt时刻对应的y导数xk = xx(end,:); % A/D，提取xx中最后一行的值，即当前y和y导数yout(k)=xk(1); %xk(1)即为当前系统输出采样值y(k)e(k)=rin(k)-yout(k);%计算当前误差de(k)=(e(k)-e_1)/ts; %计算u(k)中微分项输出u(k)=*e(k)+*de(k);%计算当前u(k)的输出%控制信号限幅if u(k)>u(k)=;endif u(k)<u(k)=;end%更新u(k-1)和e(k-1)u_1=u(k);e_1=e(k);endfigure(1);plot(time,rin,'r',time,yout,'b');%输入输出信号图xlabel('time(s)'),ylabel('rin,yout');figure(2);plot(time,rin-yout,'r');xlabel('time(s)'),ylabel('error');%误差图程序运行结果显示表1所示。
表1 程序运行结果分析:输出跟随输入，PD 控制中，微分控制可以改善动态特性，调节时间缩短，允许加大比例控制，使稳态误差减小，提高了控制精度.2．Ex4 被控对象是一个三阶传递函数ss s 1047035.8752350023++，采用Simulink 与m 文件相结合的形式，利用ODE45方法求解连续对象方程，主程序由Simulink 模块实现，控制器由m 文件实现。
输入信号为一个采样周期1ms 的正弦信号。
采用PID 方法设计控制器，其中05.0,2,5.1===d i p k k k 。
误差初始化由时钟功能实现，从而在m 文件中实现了误差的积分和微分。
控制主程序：控制子程序：function [u]=ex4f(u1,u2)%u1为Clock ，u2为图2-1中Sum 模块输出的误差信号e 的采样值persistent errori error_1if u1==0 %当Clock=0时，即初始时，e(k)=e(k-1)=0errori=0error_1=0endts=;kp=;ki=;kd=;error=u2;errord=(error-error_1)/ts;%一阶后向差分误差信号表示的误差微分errori=errori+error*ts;%累积矩形求和计算的误差的积分u=kp*error+kd*errord+ki*errori;%由PID算式得出的当前控制信号u(k) error_1=error;%误差信号更新图2-1 Simulink仿真程序其程序运行结果如表2所示。
Matlab输出结果errori =error_1 =表2 例4程序运行结果三、离散系统的数字PID 控制仿真1．Ex5 设被控对象为s s s s G 1047035.87523500)(23++=，采样时间为1ms ，对其进行离散化。
针对离散系统的阶跃信号、正弦信号和方波信号的位置响应，设计离散PID 控制器。
其中S 为信号选择变量，S=1时是阶跃跟踪，S=2时为方波跟踪，S=3时为正弦跟踪。
求出G(s)对应的离散形式)()()(z U z Y z G =，其中Y(z)和U(z)是关于z 的多项式，则可以得到其对应的差分表达式仿真程序：%PID Controllerclear all;close all;ts=;%采样周期sys=tf,[1,,,0]);%被控对象连续传递函数dsys=c2d(sys,ts,'z');%转换成离散z传递函数的形式[num,den]=tfdata(dsys,'v');%提取z传递函数中的分子和分母多项式系数u_1=;u_2=;u_3=;%u(k-1)、u(k-2)、u(k-3)的初值y_1=;y_2=;y_3=; %y(k-1)、y(k-2)、y(k-3)的初值x=[0,0,0]'; %比例、微分、积分项的初值error_1=0;%e(k-1)的初值disp('S=1--step,S=2--sin,S=3--square')% S=1阶跃，S=2方波，S=3正弦S=input('Number of input signal S:')%接收输入信号代号for k=1:1:1500time(k)=k*ts;%各采样时刻if S==1 %阶跃输入时kp=;ki=;kd=; %各项PID系数rin(k)=1; %阶跃信号输入elseif S==2kp=;ki=;kd=; %各项PID系数rin(k)=sign(sin(2*2*pi*k*ts)); %方波信号输入elseif S==3kp=;ki=;kd=; %各项PID系数rin(k)=*sin(2*2*pi*k*ts); %正弦信号输入endu(k)=kp*x(1)+kd*x(2)+ki*x(3); %PID控制信号输出u(k)%控制信号输出限幅if u(k)>=10u(k)=10;endif u(k)<=-10u(k)=-10;end%根据差分方程计算系统当前输出y(k)yout(k)=-den(2)*y_1-den(3)*y_2-den(4)*y_3+num(2)*u_1+num(3)*u_2+num( 4)*u_3;error(k)=rin(k)-yout(k);%当前误差%更新u(k-1)、u(k-2)、u(k-3)、y(k-1)、y(k-2)、y(k-3) u_3=u_2;u_2=u_1;u_1=u(k);y_3=y_2;y_2=y_1;y_1=yout(k);x(1)=error(k); %比例输出x(2)=(error(k)-error_1)/ts; %微分输出x(3)=x(3)+error(k)*ts; %积分输出error_1=error(k); %更新e(k-1)endfigure(1); %作图plot(time,rin,'r',time,yout,'b');xlabel('time(s)'),ylabel('rin,yout');其程序运行结果如表3所示。
2．Ex6针对于Ex5被控对象所对应的离散系统，设计针对三角波、锯齿波和随机信号的位置式响应。
仿真程序：。
程序中当S=1时为三角波，S=2时为锯齿波，S=3时为随机信号。
如果D=1，则通过pause命令实现动态演示仿真。
%PID Controllerclear all;close all;ts=;sys=tf,[1,,,0]);dsys=c2d(sys,ts,'z');[num,den]=tfdata(dsys,'v');u_1=;u_2=;u_3=;r_1=rand;y_1=0;y_2=0;y_3=0;x=[0,0,0]';error_1=0;disp('S=1--Triangle,S=2--Sawtooth,S=3--Random')% S=1三角，S=2锯齿，S=3随机S=input('Number of input signal S:')%接收输入信号代号disp('D=1--Dynamic display,D~=1--Direct display')%D=1动画显示，D~=1直接显示D=input('D=')for k=1:1:3000time(k)=k*ts;kp=;ki=;kd=;if S==1 %Triangle Signalif mod(time(k),2)<1rin(k)=mod(time(k),1);elserin(k)=1-mod(time(k),1);endrin(k)=rin(k);endif S==2 %Sawtooth Signalrin(k)=mod(time(k),;endif S==3 %Random Signalrin(k)=rand;vr(k)=(rin(k)-r_1)/ts; %Max speed iswhile abs(vr(k))>=rin(k)=rand;vr(k)=abs((rin(k)-r_1)/ts);endendu(k)=kp*x(1)+kd*x(2)+ki*x(3); %PID Controller%Restricting the output of controllerif u(k)>=10u(k)=10;endif u(k)<=-10u(k)=-10;end%Linear modelyout(k)=-den(2)*y_1-den(3)*y_2-den(4)*y_3+num(2)*u_1+num(3)*u_2+num( 4)*u_3;error(k)=rin(k)-yout(k);r_1=rin(k);u_3=u_2;u_2=u_1;u_1=u(k);y_3=y_2;y_2=y_1;y_1=yout(k);x(1)=error(k); %Calculating P x(2)=(error(k)-error_1)/ts; %Calculating D x(3)=x(3)+error(k)*ts; %Calculating I xi(k)=x(3);error_1=error(k);if D==1 %Dynamic Simulation Displayplot(time,rin,'b',time,yout,'r');pause;endendplot(time,rin,'r',time,yout,'b');xlabel('time(s)');ylabel('rin,yout');Matlab运行结果为：S=1--Triangle,S=2--Sawtooth,S=3--RandomNumber of input signal S:1（2、3）S =1D=1--Dynamic display,D=0--Direct display %D=1动画显示，D~=1直接显示D=0D =0 %D=0直接显示，如果D=1，则通过pause命令实现动态演示仿真。