多项式近似是工程中十分常见的方法， 它首先需要我们确定多项式的次数， 一般可以用差分法、差商法来估计。 （逼近论 类似的思想：泰勒公式）
❖ 差分与差商概念
❖ 一阶向前差分 y k y k 1 y k f( x k 1 ) f( x k )
❖ 二阶向前差分 2ykyk1yk ❖ …………
❖ 一般地，等距节点用差分，不等距节点用差 商
❖ 作用： 作为微分与导数的近似估计，便于确
定多项式的阶数
差商与导数的联系 （微分中值定理）
❖ 若y=f(x)在[a，b]上m次可导，且
a x k x k 1 x k 2 x k 3 x k m b
则
f[xk,xk 1,xk2, xkm ]f(m m )!( )
目的
希望利用低温状态下的压力等有关数据进行 外推。能否从所列的数据中计算75度 氨蒸汽的 压力？
表5.1
温度(C ) 20 25 30 35 40 45 50 55 60
压力(kN/m2) 805 985 1170 1365 1570 1790 2030 2300 2610
根据5.1的数据,可以绘制图5.2。
根据表5.1的数据可以得到差分表5.2
❖t
❖ 20 ❖ 25 ❖ 30 ❖ 35 ❖ 40 ❖ 45 ❖ 50 ❖ 55 ❖ 60
p 805 985 1170 1365 1570 1790 2030 2300 2610
p
180 185 195 205 220 240 270 310
2 p
5 10 10 15 20 30 40
经验函数形式
160 140 120 100
80
2
4
6
8
10 12
I
0.5 1
2
4
8 12
LnI -0.301 0 0.301 0.602 0.903 1.079
V
160
120 94
75 62 56
ln(V-30) 2.114 1.954 1.806 1.653 1.505 1.415
lnI ln(V-30)
❖ （3）抛物函数 ya2 xbxc
yc axb x
电弧电流I与电压降V之间的经验公式的确定。
❖ 磁铁电弧灯的弧长一定时，实验测得电弧电
流I与电压降V之间的测定值列于表5.3。
V
❖
表5.3 I与V 测定值
❖I
0.5 1
2
4
8 12
I
❖V
160 120 94
75 62 56
❖ 试确定V与I的经验公式的形式。
❖ plot(x1,y1,'.');
❖ title('log(I)-log(V-30)图')
❖ >>
8 12 ]; 62 56];
❖ 利用原始数据作图，或作全对数图，办对数 图，可以帮助我们进一步寻找经验公式的形式，
下图就是先通过全对数图确定经验公式形式， 再借助其他方法获得的经验公式图形与实际 数据比较结果。
❖ m阶向前差分 m y k m 1 y k 1 m 1 y k,m 1 ,2 ,
❖ 一阶差商
f[xk,xk1]xk 1y kxk
二阶差商 ❖
f[xk,xk 1 ,xk 2]f[xk 1 ,x x k k 2 2 ] x fk [xk,xk 1 ]
❖ …………
m阶差商 ❖
f[x k,x k 1 , ,x k m ] f[x k 1 ,x k 2 , ,x k x k m ] m fx [k x k,x k 1 , ,x k m 1 ]
与 呈 线
❖ x=[0.5 1
2
4
8 12 ];
❖ y=[160 120 94
75 62 56];
❖ x1=log(x);y1=log(y-30);
❖ plot(x1,y1,'ro',x1,y1);
❖ hold on
若结点为等距分割点时，有 xk x0 kh，h为结点距，且
m y k m !h m .f[ x k ,x k 1 , ,x k m ] h m f( m )()(xk,xkm)
因此对n阶多项式有 常数。据此,我们可以根据数据的差分来确定多项式的次数。
问题 氨蒸汽的压力和温度关心
考虑到测量设备等的限制，我们希望利 用低温状态下的压力等有关数据进行外 推。表5.1给出了氨蒸汽的一组温度和压 力数据。
3 p 4 p
5
0
-5
5
5
5
0
10
5
10
0
❖ 3阶或4阶多项式比较合适
曲线改直 是工程中又一常用的判断曲线形式的方法,许多常见的 函数都可以通过适当的变换转化为线性函数。
❖ （1）幂函数
yaxb c ln (y c ) b ln |x| ln |a |
❖ （2）指数函数
❖ yabx c ln (y c ) x ln |b | ln |a |
第五章 数值分析法
工程实践中必不可少的数学方法(数据处理）
用连续的观点处理离散问题 理论与经验的有机结合
5.1曲线拟合法
经验公式
y f (x)
含 根据一组实验观测数据确定自
变量x与因变量y的一个最“逼近”
义
的函数关系式
几何解释
找一条“最佳” 的线，
使 ( x i得,之y最i 与) 近
靠
作 用连续函数分析方
❖
❖ >> x=[0.5 1
2
4
❖ >> y=[160 120 94
75
❖ >> x1=log(x);y1=log(y-30);
❖ >> y2=log(y-50);
❖ >> subplot(2,2,1);
❖ plot(x,y,'o');
❖ title('I-V图')
❖ subplot(2,2,2);
❖ plot(x,y1,'.');
❖ title('I-log(V-30)图')
❖ subplot(2,2,3);
❖ plot(x,y2,'.');
❖ subplot(2,2,3);
❖ y2=log(y-50);
❖ plot(x,y2,'.');
❖ title('I-log(V-50)图')
❖ subplot(2,2,4);
法进行建模讨论。
用
一个实际问题
❖ 程序控制的铣床精密工件加工工件的表面是 光滑的，走刀方向是逐段线性的，实际上是利 用逐段线性函数近似连续光滑函数。
曲
确定经验公式形式
线
拟 确定经验公式中的系数 合
步
骤
检验经验公式有效性
利用已知的结论
描点作前人比较成熟的成果，公认的结论 ❖ 普遍采用的公式 ❖ 根据经验的假设，假想（要验证）