2.1 机器人的位姿描述
2.1.1 机器人位姿的表示 位置可以用一个3×1的位置矩阵来描述。
p
px py
x
y
pz
z
ｚ
ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)
ｏ ｙ
ｘ
2.1 机器人的位姿描述
2.1.1 机器人位姿的表示 ｚ
ｚh
姿态可以用坐标系 三个坐标轴两两夹角的 余弦值组成3×3的姿态 矩阵来描述。
zj
ｘi
ｘj
ｙj ｙi
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变
2换、旋转变换
① 绕z轴旋转θ角
若补齐所缺的有些项，再作适当变形，则
有：
xi
cos
xj
sin
yj
0
zj
yi sin x j cos y j 0 z j
zi
0
xj
0
yj
1 zj
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变
r r ij
j
ｚi
i
j ｏj
ｏi
pijｘj
ｙj
称上式为坐标平移方程。 ｘi
ｙi
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变
2换、旋转变换
设坐标系{i}和坐标系{j}的
ｚi
原点重合，但它俩的姿态不同。
则坐标系{j}就可以看成是由坐
ｚj
标系{i}旋转变换而来的，旋转
变换矩阵比较复杂，最简单的
ｏi
是绕一根坐标轴的旋转变换。 ｘi
运动学研究的问题： 手在空间的运动与各个
关节的运动之间的关系。 正问题：
已知关节运动， 求手的运动。 逆问题：
已知手的运动， 求关节运动。
数学模型：
手的运动→位姿变化→位姿矩阵M 关节运动→参数变化→关节变量qi，i=1，…，n
运动学方程：
M=f(qi)， i=1，…，n
正问题：已知qi，求M。 逆问题：已知M，求qi。
ｏj
下面以此来对旋转变换矩阵作 以说明。
ห้องสมุดไป่ตู้
ｘj
ｙj ｙi
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变
2换、旋转变换
① 绕z轴旋转θ角 坐标系{i}和坐标系{j}
的原点重合，坐标系{j}的
坐标轴方向相对于坐标系
{i}绕轴旋转了一个θ角。
θ角的正负一般按
右
手法则确定，即由z轴的
ｘi
矢端看，逆时钟为正。
ｚi ｚj
2换、旋转变换
① 绕z轴旋转θ角
将上式写成矩阵的形式，则有：
xi cos
yi
sin
zi 0
sin cos
0
0 0
x y
j j
1 z j
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变
2换、旋转变换
①绕z轴旋转θ角
再将其r写i 成矢R量izj形, 式 r，j 则有：
称rrji上——式——为pp点点坐在在标坐坐旋标标转系系方{{程ij}}，中中式的的中坐坐：标标列列阵阵（（矢矢量量））；；
ｏiｏj
θ
ｘj
ｙj
θ
ｙi
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变
ｚi
2换、旋转变换
ｚj
① 绕z轴旋转θ角——变换矩阵推导
若空间有一点p，则其
在坐标系{i}和坐标系{j}中
的坐标分量之间就有以下关系：
xi
xj
cos
yj
sin
ｏi θ ｏj
yi x j sin y j cos
z
i
2.1 机器人的位姿描述 2.2 齐次变换及运算 2.3 机器人运动学方程 2.4 机器人微分运动
习题
2.1 机器人的位姿描述
2.1.1 机器人位姿的表示 2.1.2 机器人的坐标系
2.1 机器人的位姿描述
2.1.1 机器人位姿的表示 机器人的位姿主要是
指机器人手部在空间的位 置和姿态，有时也会用到 其它各个活动杆件在空间 的位置和姿态。
相对于坐标系{i}的姿态（方向）。
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变
2换、旋转变换
①绕z轴旋转θ角
旋转变换矩阵：
ｚi ｚj
cos sin 0
R z, ij
sin
cos
0
0
0 1
ｏi θ ｏj
ｘi
ｘj
ｙj ｙi
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变
移变换矩阵，它是一个3×1的矩阵，即： ｚj
p
x
pij py
pz
ｚi ｏi ｘi
pij
ｘj
ｏj
ｙj
ｙi
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变
1换、平移变换
若空间有一点在坐标系{i}和坐标系{j}中分别用矢
ri 量rj 和
r p r i
表示，则它们之间有以下关系：
ｚj
2.1 机器人的位姿描述
2.1.2 机器人的坐标 系
➢手部坐标系{h}
➢机座坐标系{0}
➢杆件坐标系{i} i=1，…，n
➢绝对坐标系{B}
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变换 2.2.2 齐次坐标变换
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变
换
坐标之间的变换关系： ｚi
平移变换 旋转变换
ｘh ｏh ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)
ｏ
ｙh
ｙ
cos(x, xh ) R cos(y, xh )
cos(z, xh )
ｘ
cos(x, yh ) cos(y, yh ) cos(z, yh )
cos(x, zh ) cos(y, zh ) cos(z, zh )
2.1 机器人的位姿描述
2.1.1 机器人位姿的表
ｏi ｘi
ｚj
ｘj
ｏj
ｙj
ｙi
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变
1换、平移变换
设坐标系{i}和坐标系{j}具有相同的姿态，但它俩 的坐标原点不重合，若用pij 矢量表示坐标系{i}和坐标
系{j}原点之间的矢量，则坐标系{j}就可 以看成是由坐 标系{i}p沿ij 矢量 平移变换而来的，所以p称ij 矢量 为平
示
例：右图所示两坐
ｚ0
标系的姿态为：
0 R01 1
1 0
0 0
ｏ0 ｘ0
0 0 1
ｚ1
ｘ1
ｏ1 ｙ1
ｙ0
2.1 机器人的位姿描述
2.1.2 机器人的坐标系 ➢手部坐标系——参考机器人手部的坐标系，也称机 器人位姿坐标系，它表示机器人手部在指定坐标系中 的位置和姿态。 ➢机座坐标系——参考机器人机座的坐标系，它是机 器人各活动杆件及手部的公共参考坐标系。 ➢杆件坐标系——参考机器人指定杆件的坐标系，它 是在机器人每个活动杆件上固定的坐标系，随杆件的 运动而运动。 ➢绝对坐标系——参考工作现场地面的坐标系，它是 机器人所有构件的公共参考坐标系。
R—izj ,—坐标系{j}变换到坐标系{i}的旋转变换矩阵，
也称为方向余弦矩阵。
2.2 齐次变换及运算
2.2.1 直角坐标变
2换、旋转变换
①绕z轴旋转θ角
R z , ij
——旋转变换矩阵，也称为方向余弦矩阵，
是一个3×3的矩阵，其中的每个元素就是坐标系{i}和
坐标系{j}相应坐标轴夹角的余弦值，它表明坐标系{j}