2003年第18卷第4期 电 力 学 报 Vol.18No.42003 (总第65期) J OU RNAL OF EL ECTRIC POWER (Sum.65)
文章编号: 1005-6548(2003)04-0262-02
车灯线光源的优化设计
———2002年全国大学生数学建模A题论文Ξ
郭 洋1, 常 哲1, 刘品贤1
(11山西大学工程学院,山西太原 030013)
Optimum Design of H eadlight’s Filament
———Mathematical Contest in Modeling in2002
GUO Yang1, CHAN G Zhe1, L IU Pin2xian1
(11Engineering College of Shanxi University,Taiyuan 030013,China 030013,China)
摘 要: 根据设计规范的要求对线光源的最短长度进行了数值分析。
首先用解析法建立了一个多元函数模型得出合理的数值,然后利用向量代数知识借助MA TLAB模拟出屏上的蝶形形状亮区。
关键词: 数学模型;多元函数;优化设计
中图分类号: O182 文献标识码: A Abstract: A numerical analysis of the shortest length of headlight’s filament is made in the paper.
A multiplex function model is established on the basis of optical principle and then an extent is drawn in the light of MA TLAB.
K ey Words: mathematical model;multiplex func2 tion;optimum design
1 题目描述
现知一汽车前灯的形状为旋转抛物面,开口半径36mm,深度21.6mm,其对称轴水平地指向正前方。
经过车灯的焦点,在与对称轴相垂直的水平方向,对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下。
在焦点F 正前方25m处的A点放置一测试屏,屏与FA垂直,用以测试车灯的反射光。
在屏上过A点引一与地面相平行的直线,在该直线A点的同侧取B点和C点,使A C=2A B=2.6m。
要求C点的光强度不小于某一额定值(可取为1个单位),B点的光强度不小于该额定值的两倍(只须考虑一次反射)。
需要解决下列问题:
a1在满足该设计规范的条件下,计算线光源长度,使线光源的功率最小。
b1对得到的线光源长度,在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
c1讨论该设计规范的合理性。
2 问题分析
a1问题要使线光源的功率最小,即可等效为线光源的长度最小。
因为理想线光源可视为由无穷多个点光源组成,其功率相应等价为无穷多个点光源功率的积分。
b1光强是单位面积上通过的光通量,据此可知光强与发光点的发光功率成正比,与距离发光点的
Ξ收稿日期: 2003-06-27
作者简介: 郭 洋(1982-),男,河南南召人,山西大学工程学院动力工程系学生;
常 哲(1979-),男,山西芮城人,山西大学工程学院动力工程系学生;
刘品贤(1981-),男,浙江乐清人,山西大学工程学院动力工程系学生。
距离的平方成反比。
c 1反射光线方程: r = r M +λ β(λ是参数、 r M
是M 点的向径);其中, β=2( a , n ) n - a , a 表示曲面上M 点到点光源的单位向量, n 是M 点的内单位法向量。
3 问题假设
a 1连续性假设:假设线光源和旋转抛物面是连
续的;
b 1均匀性假设:假设线光源的发光功率是均匀
分布的;
c 1不计能量损失和漫反射的影响;
d 1只考虑一次反射。
4 模型的建立与求解
411 利用平面解析几何知识求出合理数值
根据设计规范的要求,可以把三维立体问题简化为二维平面问题,只考虑特殊情况下B 、C 两点接收反射光线的情况。
截取主轴线所在水平面作为研究平面,由题意知抛物面的方程为:y 2
+z 2
=60x ,相应的抛物线方程为y 2
=60x ,其焦点为F (15,0)。
如图1所示,抛物线顶点O 在坐标原点,点E (21.6,36)为端点,N (15,a )是线光源上的任一点(代表一个点
光源),假设P (x ,y )为抛物线上的任一点,则有
y
2
=60x ,过点P 的切线斜率为k =30/y ,PM 是
入射光线N P 所对应的反射光线,其中M (25015,
M )为直线PM 与A C 的交点。
又有A (25015,0),B (25015,1300),C (25015,2600)。
图1 二维平面光路示意图
由反射定律得:
k -k PN 1+kk PN =
k PM -k
1+kk PM
整理为关于b 的多元函数:
b =
f (a ,y )
=〔y 5-ay 4+1800y 3+
1498200ay 2+810000y -1350810000a 〕/〔y 4+
1800y 2-3600ay +810000〕
考虑到参数a 、y 的连续性和有界性,因而可用离散的数学思想借助C 程序统计b 在特定范围内出现的次数,从而得出在设计规范下的灯丝最短长度为3.108。
412 利用空间解析几何知识校核
如图2所示,P (x p ,y p ,z p )是旋转抛物面上任一点,对应的内法向量为 n =(60
,-2y p ,-2z p ),内法线方程为
x -x p -30=y -y p y p =z -z p
z p
,则法线与x 轴交点为Q (x p +30,0,0)。
图2 三维空间光路示意图
由空间几何知识易知N 、Q 、C (B )三点共线,可将空间图形投影到xoy 平面上。
当恰好有反射光线到达C 点时,早已有光到达了B 点。
进而校核出该数值的合理性。
5 反射光亮区的确定
旋转抛物面方程为y 2+z 2=60x ,点光源N 的坐标为(15,a ,0),内法向量为 n =(60,-2y p ,-2z p ),依次求出N P ϖ
、 a 、 n 、 β,然后结合反射光线方程 r = r P +λ β,根据X =X A =25015,依次求出λ、Y 、Z ,最后用MA TLAB 作图。
6 设计规范的合理性讨论
可以从以下三方面分析。
a 1照射亮区要有足够的范围,使司机发现障碍
后有足够的制动时间,避免发生碰撞等交通事故;
b 1照射亮区要有足够的宽度,使路标等物体在
照射范围之内;
c 1亮区的上下高度较小,左右的宽度较大,符
合实际要求。
参考文献:
[1] 崔冠之1空间解析几何[M ]1北京:中央民族出版社,
19891
[责任编辑:杨兆强]
362第4期 郭 洋等:车灯线光源的优化设计———2002年全国大学生数学建模A 题论文 。