必修四期末复习(一)
平面向量 课型A
例1设a,b 是夹角为60的单位向量，旧=1,则a-c ・b ・c 的取值范围是(C )
面积之比是
PA P B P^.A B ,得存 PB BA K = 0,
即PC 二2AP ,所以点P 是CA 边上的第二个三等分点，如图所示•
S
PBC
_ BC PC _ 2
例3•已知|a |=2| b |=0,且关于
x 的方程x 2 |a |x • a b = 0有实根，则a 与b 的夹角的取 值范围是
・(A ) , 2 , , , A.[—，二] B. [ —, ] C .[—，二] D • [0,—] 3 3 3 6 6
例4•平面上三点 A B 、C 满足AB =3, BC =4, CA =5,
求 AB BC BC CA CA AB 的值-25
例5.在平面直角坐标系 xOy 中，点A( — 1, — 2)、B(2,3)、C( — 2, — 1) (1 )求以线段AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长(
2)设实数t 满足(AB -tOC ) • OC =0,求t 的 值
(1)对角线长为,40 和 4'.. 2 , (2) t - -11
5
二、平面向量 课型B 例6.如图，半圆的直径 AB = 6, O 为圆心，C 为半圆上不同于 A B 的任意一点,
若P 为半径OC 上的动点，贝U (PA - PB) PC 的最小值为 (C )
A J-1,11 B. L ...3, ...3】 D.
例2.在ABC 所在的平面上有一点
p ，满足 PA PB PC 二蛊, 贝则：PBC 与:ABC 的
A.
B. 1 2 C . 2 3 D. 【解析】由 S ABC BC AC 3 A O
A. 2 ；
B.9；
C. —9；
D. —9;
例7. P是厶ABC边BC的中线AD上异于A、D的动点，AD- 4,
求PA (PB PC)的取值范围
【解析】设= ■ DA，所以=(^ )DA，其中0「：：： 1
因为AD是. ABC边BC上的中线，所以DB • DC = 0
所以PA (PB PC)二
P A(PD DB PD DC^2PAPD
=2( ■ DA) [ 一(1 一■ )DA] - -2 (1 - ■ ) |DA |2=32'2-32怎=32( • - ；)2-8
PC) =32(，-丄)2-8 [-8,0)
2
例8如图，在厶ABC中, AD _ AB,
A. 2,3
B. D. 3
例9 .设a = (x「yj , b = (x2 , y2)，右|a|= 2, |b|=3
a b _ -6，则
3 - 2 -
D
2 - 3
例9.如图在ABC中, AB =3,BC =、、7, AC =2，若 O 为ABC 的外心,
因为0 ：：
所以
AD =1，贝U AC AD = ( D )求AC AO BC AO的值
以便进一步分析求证.
T T T 证明 充分性，由PC =m PA + n PB , m + n=1,
T T T T
PA + PC =m PA + n ( PA +
(n ) PA + n AB = PA + n AB ,
--AC =n AB .
••• A 、B 、C 三点共线.
必要性：由A 、B 、C 三点共线知，存在常数 入，使得AC =入AB , 即 AP^ + PC =入(A P+PB ). PC =(入—1) A P + 入 P B = (1—入)PA + 入 P B ,
m=1—入，n=入，m + n=1,
AC 話二2
TB T.A O 例ii .已知平面上三个向量
a,b,c,的模均为1,它们相互之间的夹角均为 120。

(I )求证：(a - b') _ e ; (||)若 (k • R )，求k 的取值范围。

(I)根据向量垂直的条件可证 °： (a • • b)・c 二a c • • b c /)即可
42
(II)不等式 ka +b +c >1 w Ika +b +c| >1 =k 2；2 2 2
b c 2ka ・b 2ka ・c 2b ・c1
7 a £」c =1,且a,b,c,的夹角均为120, a 二b
" 4"4-*心過,
k 2
-2k 0, k 2或k ：： 0. 例12.已知A 、B C 、P 为平面内四点，求证： 在一对实数 m 、n ,使 PC =m PA +n PB ，且 m+n=1.
A 、
B 、
C 三点在一条直线上的充要条件是存 【解析】A BC 三点共线的一个充要条件是存在 实数入，使得云C =入AB •很显然，题 设条件中向量表达式并未涉及
AC 、 AB ，对此, 我们不妨利用 TC =PA +A C 来转化,
PC =m PA + n PB .。