2a A
首先要求出M 的数值
3M
jDB jDC jCB
+
x
180 π
M l xDC DC GI p
M l xCB CB GI p
180 3Ma 1 π GIp
M πGIp 540a
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
生命不止，奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
g
在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，
就可得到两端相对扭转角j 。
dj
dx
dj M x
dx GI p 当 M x 为常数时：
GI p
j l M x dx
0 GI p
j M xl
GI p
同种材料阶梯轴扭转时:
j n M xili
A
F
B
30oC2
C
C1
y
FAC
F
30
FBC
C x
FAC sin 30 F 0 FAC 2F 80kN 拉 伸长
FBC FAC cos30 0 FBC 40 3kN 压 缩短
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
AMx N·m
+
T2
T3
d2
B
C
1400 800
x
1）根据题意，首先画出扭矩图
2）AB 段单位长度扭转角：
AB
M xAB GI pAB
80
1400 109 π
0.064
32
0.01375rad/ m
Hale Waihona Puke 3）BC段单位长度扭转角：
BC
M xBC GI pBC
80
800 109 π
0.044
32
0.03978rad/ m
求 : 1) 最大切应力; 2）j AC
M 2M
3M
D a C aB
2a A
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
M 2M
3M 1）画出扭矩图
D a C aB
Mx 2M M
2）求最大切应力
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
F
l
F
l FNl EA
l1
公式的适用条件:
1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律
2）在计算杆件的伸长时，l 长度内其FN、A、l 均
应为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段 计算或积分计算。
x
B’
wB
w
B
某截面的法线方向与x轴 的夹角称为该截面的转角
x
挠度和转角的大小和截面所处的 x 方向的位
置有关，可以表示为关于 x 的函数。
挠度方程（挠曲线方程） 转角方程
w f1(x)
f2(x)
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
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第三节 梁的弯曲变形，挠曲线近似微分方程
一、梁的变形
梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的 弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊， 若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格； 如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。
+
x l l AB lBC
－
20
l AB
FNABl AB EA1
40 10 3 400 200 10 3 800
0.1mm
伸长
lBC
FNBClBC EA2
20103 400 200103 240
0.167mm
缩短
l lAB lBC 0.1 0.167 0.067mm 缩短
Cease to struggle and you cease to live.
A
1m
F
B
30o
C
Cease to struggle and you cease to live.
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分析
A
B
通过节点C的受力分析可以判断AC 杆受拉而BC杆受压，AC杆将伸长，而 F BC杆将缩短。
C
C2
C1
因此，C节点变形后将位于C3点
生命不止，奋斗不息
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第一节 拉压杆的轴向变形
直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，
而其横向变形相应变细或变粗
杆件在轴线方向的伸长
F l
l1
由胡克定律 Eε
得到轴向拉压变形公式
F l l1 l
纵向应变
FN
A
l
l
l FNl EA
Cease to struggle and you cease to live.
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F F1
A(x)
l x
F2
l1
l2
F
l FNdx l EA(x)
F3 l3
l n FNili
i1 EAi
Cease to struggle and you cease to live.
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b1 b
横向也会发生变形
F
F 横向应变
l l1
b b1 b
bb
通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应
变和横向应变存在如下的比例关系
泊松比
泊松比ν 、弹性模量 E 、切变模量G 都是材料的弹性常数，
T3=800N·m， d1=60mm，d2=40mm，剪切弹性模量G=80GPa，计 算最大单位长度扭转角。
T1 d1
A
T2
T3
d2
B
C
Cease to struggle and you cease to live.
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T1 d1
(此问题若用圆弧精确求解)
Cx 0.278mm
Cy 1.44mm
Cease to struggle and you cease to live.
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第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角
g dj
dx
在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距
i1 GI pi
相对扭转角的单位: rad
请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
例4-3 一受扭圆轴如图所示，已知：T1=1400N·m， T2=600N·m，
为 dx 的两个相邻截面之间有相对转角dj
dj M x dx
GI p
取
dj M x
dx GI p
单位长度扭转角 用来表示扭转变形的大小
单位长度扭转角的单位: rad/m
GI p 抗扭刚度
GI p 越大，单位长度扭转角越小
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
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3）分别作AC1和BC2的垂线交于C0
A
Cx CC2 0.277mm
F
C y CC1 / sin30 CC2cot30
B
30oC2
C
C1
1.44mm
C点总位移：
Cy
C C y 2 Cx 2 1.47mm
C0 Cx
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挠度和转角的正负号规定：
y
C’
A
C
x
B’
wB
w
B
x
在图示的坐标系中， 挠度 w 向上为正，向下为负。转 角规定截面法线与 x 轴夹角，逆时针为正，顺时针为负,
即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角 为正。
Cease to struggle and you cease to live.
C3 C0
由于材料力学中的小变形假设，可
以近似用C1和C2处的圆弧的切线来代替 圆弧（以切代弧法），得到交点C0
Cease to struggle and you cease to live.
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[解] 1）分析节点C,求AC和BC的轴力（均预先设为拉力）
生命不止，奋斗不息
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二、挠曲线近似微分方程
纯弯曲情况下 梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是:
横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度
时，剪力对梁的变形可以忽略不计。但此时弯 矩不再为常数。