近世代数习题解答第四章 整环里的因子分解1 素元、唯一分解1. 证明：0不是任何元的真因子。

证 当0≠a 时若b a 0=则0=a 故矛盾当0=a 时，有00ε= （ε 是单位）就是说0是它自己的相伴元2. 我们看以下的整环I ，I 刚好包含所有可以写成m m n(2是任意整数，0≥n 的整数） 形式的有理数，I 的哪些个元是单位，哪些个元是素元？证 １）I 的单位总可以把m 表为p p m k (2=是０或奇数，k 非负整数）我们说1±=p 时，即k m 2±=是单位，反之亦然２）I 的素元依然是k p p m k ,(2=的限制同上）我们要求ⅰ）0≠pⅱ）1±≠pⅲ）p k 2只有平凡因子满足ⅰ）—— ⅲ）的p 是奇素数故p m k 2=而p 是奇素数是nm 2是素元，反之亦然， ３．I 是刚好包含所有复数b a bi a ,(+整数）的整环，证明5不是I 的素元，5有没有唯一分解？证 （1）I 的元ε是单位，当而且只当12=ε时， 事实上，若bi a +=ε是单位则11-=εε 2'221εε= 即2'21εε= 但222b a +=ε是一正整数，同样2'ε也是正整数， 因此，只有12=ε反之，若1222=+=b a ε，则0,1=±=b a或1,0±==b a 这些显然均是单位此外，再没有一对整数b a ,满足122=+b a ，所以I 的单位只有i ±±,1。

（２）适合条件52=α的I 的元α一定是素元。

事实上，若52=α则0≠α又由α)1(也不是单位 若2225,λβαβλα=== 则12=β或52=βββ⇒=12是单位λαβλ⇒=⇒-12是α的相伴元λλβ⇒=⇒=1522是单位βαλβ⇒=⇒-1是α的相伴元不管哪种情形，α只有平凡因子，因而α是素元。

（３）I 的元5不是素元。

若βα=5则2225λβ= 这样，2β只可能是25,5,1 当52=β由)1(β是单位 当1522=⇒=λβ由)1(λ是单位此即λβ,中有一是5的相伴元 现在看52=β的情形5,222=+=+=b a bi a ββ可能的情形是⎩⎨⎧==21b a ⎩⎨⎧-=1b a ⎩⎨⎧=1b a ⎩⎨⎧-=-=21ba⎩⎨⎧=1b a ⎩⎨⎧-==12b a ⎩⎨⎧=-=12b a ⎩⎨⎧-=1b a显然)2)(2(5i i -+= 由（２）知52=β的β是素元，故知５是素元之积（４）５的单一分解)21)(21(5i i -+=)21)(1)(21)(1(i i --+-=)21)()(21)(()21)()(21)((i i i i i i i i --+=-+-=i ±±,1均为单位２ 唯一分解环１．证明本节的推论证 本节的推论是；一个唯一分解环I 的 n 个元n a a a ,,21 在I 里一定有最大公因子，n a a a ,,21 的两个最大公因子只能查一个单位因子。

用数学归纳法证当2=n 时，由本节定理３知结论正确。

假定对1-n 个元素来说结论正确。

看n 的情形设 121,,-n a a a 有最大公因子为1-n d 。

1-n d ，n a 的最大公因子为d 即1-n d d 而a d n 1- i a d n i ⇒-=)1,,2,1( )1,,2,1(-=n i 又n a d故d 是n n a a a a ,,1,2,1- 的公因子 假定i a d - n n i ,1,,2,1-=1--⇒n d d 又n a d - d d -⇒这就是说，d 是n n a a a a ,,1,2,1- 的最大公因子若'd 是n n a a a ,11- 的最大公因子 那么d d ' 且'd d 'ud d =⇒ vd d =' u v d d =⇒若 0=d 则o d ='0≠d 则1=uv 即u 是单位ε故d d ε=２． 假定在一个唯一分解环里n n db a db a db a ===,,,2211证明 当而且只当d 是n a a a ,,,21 的一个最大公因子的时候，n b b b ,,,21 互素证 ""⇒假定d 是n a a ,,1 的一个最大公因子若 n b b b ,,21不互素则有 n n c d b c d b '1'1,,== 而'd 不是单位那么),,1(,'n i c dd a i i ==这就是说'dd 是n a a ,1的公因子 所以d dd '即 '''d dd d = 故1'''=d d 'd 是单位 矛盾''''⇐假定n b b ,,1 互素令'd 是n a a ,1的最大公因子则有'd d 即d d 'i i c d a '=i c dd 1= ),,2,1(n i =i i c d b 1= 1d ⇒是n b b ,,1 的公因子于是1d 是单位d d ε='那么d 是n a a ,,1 的最大公因子3． 假定I 是一个整环，)(a 和)(b 是I 的两个主理想证明 )()(b a =当而且只当b 是I 的相伴元的时候证 ''''⇒假定)()(b a =a cb cb a ',== a cc a '= 1'=cc',c c 是单位所以b 是a 的相伴元''''⇐假定a b ε= （ε 单位）),(a b ∈ )()(a b ⊂)()(,1a a b a ⊂=-ε故 （)()b a =３ 主理想１．假定I 是一个主理想环，并且d b a =),(证明 d 是a 和b 的一个最大公因子，因此a 和b 的何最大公因子'd都可写成以下形式：tb sa d +='),(I t s ∈证 由于)(),(d b a =有d a a d a 1),(=∈ d b b d b 1),(=∈ d 是a b ,的公因子 仍由)(),(d b a =知),(b a d ∈故有 b t a s d ''+=设1d 是b a , 的 任一公因子由)(A 知d d 1即d 是b a ,的最大公因子又d d ε=' （ε单位 ）),(,)()()(''''I t s tb sa b t a s b t a s ∈+=+=+=εεε２． 一个主理想环的每一个最大理想都是由一个元素所生成的。

证 设)(p 是主理想环I 的最大理想，并设0)(≠p 若p 是单位，则1)(=p若p 不是素元则bc p =， c b ,是p 的真因子 )()(b p ⊂)(p 最大理想 I b =∴)(b b ⇒∈)(1是单位，矛盾。

３．我们看两个主理想环I 和0I 是I 的子环，假定a 和b 是0I 的两个元，d 是这两个元在I 里的一个最大公因子。

证明：d 也是这两个元在I 里的一个最大公因子。

证 0I 是主理想环的子环，所以在0I 里)(),('d b a =由本节习题１知d 是b a ,的最大公因子，而且最大公因子d 有以下形式：),(0I t s tb sa d ∈+=d I I ,0⊂也是b a ,在I 里的公因子。

设 1d 是b a ,在I 里任意公因子则1111,d b b d a a ==那么)(11111tb sa d tb sa d +=+=d d 1故d 是b a ,在I 里的最大公因子。

4 欧氏环1. 证明:一个域一定是一个欧氏环.证 设F 是域,则F 一定是整环 0,≠∈x F xn n x ,:→φ是某一个固定0≥的整数,这符合条件（ⅰ）ⅱ）0,≠∈a F a 对F 的任何元b 都有0)(1+=-b a a b这里0=r2. 我们看有理数域F 上的一元多项式环][x F 理想等于怎样的一个主理想?证 我们说][)1,1(352x F x x x =+++1,1352+++x x x 互素1)1(1)1(3523=++++-∴x x x x即)1,1(1352+++∈x x x因而)()1()1,1(352x F x x x ==+++3. 证明由所有复数b a bi a ,(+是整数) 所作成的环是一个欧氏环取(a a =)(φ)证 bi a +=α b a , 整数令222)(b a +==ααφ设0≠α 则0222≠+=b a α任取 di c +=β d c , 整数其中22'22',b a bc ad b b a bd ac a +-=++= 故 '',b a 是有理数 取,yi x +=λ y x , 是有理数,且满足条件21,21''≤-≤-y b x a 令 λαβλλη-=-=' 则ηαλαβ+= 因为,,,αλβ的实部与虚部系数均为整数,所以ηα的实部与虚部系数亦均为整数1)21()21()()(222'2'2'2〈+≤-+-=-=y b x a λλη 2222ααηηα〈= 设r =ηα r +=λαβ 22α〈r即)()(αφφ〈r 注意:取 yi x +=λ 使21'≤-x a 21'≤-y b 的整数 y x ,是可以做到的 例如x b a bd ac x a -++=-22' 只要取 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=22b a bd ac x 或122+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++b a bd ac 即可使21'≤-x a 5 多项式环的因子分解1. 假定!是一个唯一分解环,Q 是I 的商域,证明,][x l 的一个多项式若是在][x Q 里可约,它在][x l 里已经可约.证 若)(x f 在][x l 里不可约,令)()(0x df x f =)(0x f 是本原多项式显然, )(0x f 在][x l 里也不可约,由引理3)(0x f 在][x Q 里不可约,这与)(x f 在][x Q 里可约的假设矛盾.2. 假定][x l 是整环I 上的一元多项式环.!属于)(x f 但不属于I ,并且)(x f 的最高系 数是I 的一个单位,证明)(x f 在][x I 里有分解.证 )(x f 的最高系数是I 的单位,所以)(x f 的系数的最大公因子是单位,也就是说)(x f 是本原多项式.)()(x I x f ∈ 而)(x f I ∈即)(x f 次数0〉根据本节引理4证明的前一部分)(x f 在)(x I 里有分解。