第5章一.填空题1. 群中有唯一的（）。

2. 如果群运算是可交换的，则群为（）。

3. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y∈A，则称二元运算*在A上是（）。

4. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y=y*x，则称二元运算*在A上是（）。

5. 设★是定义在有理数集合Q上的二元运算，如果对于Q中任意的两个元素x,y，都有x★y=x+y-x*y，其中*表示普通乘法元算，则二元运算★在Q上是（）。

（填写可交互/不可交换）6. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的元素x,y,z，都有(x*y)*z=x*(y*z)，则称二元运算*在A上是（）。

7. 设★是定义在非空集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y=y，则二元运算★在A上是（）。

（填写可结合/不可结合）8. 设*，★是定义在集合A上的两个二元运算，如果对于A中任意的元素x,y,z，都有(x*y)★z=（x★z）*(y★z)，z★(x*y)=(z★x)*(z★y),则称二元运算★对于*在A上是（）。

9. 设*，★是定义在集合A上的两个可交换的二元运算，如果对于A中任意的元素x,y，都有x*(x★y)=x, x★(x*y)=x,则称二元运算*对于★在A上满足（）。

10. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的元素x，都有x*x=x，则称二元运算*是（）。

11. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素el，对于A中任意的元素x，都有el*x=x，则称el为A中关于运算*的（）。

12. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素ol，对于A中任意的元素x，都有ol*x=x，则称ol为A中关于运算*的（）。

13. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素er，对于A中任意的元素x，都有x*erl =x，则称er为A中关于运算*的（）。

14. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素or，对于A中任意的元素x，都有x*or=x，则称or为A中关于运算*的（）。

15. 如果对于集合中的二元运算*，存在左零元和右零元，且左零元等于右零元，则零元是（）。

16. 如果对于集合中的二元运算*，存在左么元和右么元，且左么元等于右么元，则么元是（）。

17. 设*是定义在集合A上的二元运算，且e是A中关于运算*的么元，如果对于A中的元素x，存在A中的元素y，有y*x=e，则称y为x的（）。

18. 对于实数域上的乘法元算，每个元素（）逆元。

（填写一定有/不一定有）19. 对于实数域上的加法运算，（）零元。

（填写存在/不存在）20. 对于整数域上的加法运算，（）么元。

（填写存在/不存在）21. 对于非空集合S上二元运算*，是封闭且可结合的，那么<S,*>叫做（）。

22. 正整数上的加法运算（）半群。

（填写是/不是）23. 实数域上的除法运算（）半群。

（填写是/不是）24. 整数域上的加法运算（）群。

（填写是/不是）25. .如果群的运算满足交换率，则这个群叫（）。

26. 循环群（）生成元。

(填写必有/不一定有)27. 设f是由<A, ★>到<B,*>的一个同态，如果f( ),则称f为满同态的。

28. 设f是由<A, ★>到<B,*>的一个同态，如果f( ),则称f为同构的。

29. 设f是群<A, ★>到<B,*>的一个同态映射，如果e’是B中的么元，Ker(f)=( )，则称Ker(f)为同态映射f的核。

30. 设R是代数系统<A, ★>上的一个等价关系，如果当<a,b>,<c,d>∈R时，蕴含着<a★c,b★d>∈R，则称R为A上关于★的（）。

二.选择题1. 下面那个性质不是群必有的？（）A)运算的封闭性B)幺元C)零元D)运算的交换性2. 设集合A={1,2,…,10},下面定义的那个二元运算*关于A不封闭？（）A)x*y=max(x,y) B)x*y=质数p的个数，使得x<=p<=yC)x*y=min(x,y) D)x*y=((x+y)mod 10)+13. <S,*>是一个半群，如果S是一个有限集，则必有（）A)幺元B)零元C)等幂元D)不确定4. 下面那个代数系统表示的范围最大？（）A)群B)半群C)阿贝尔群D)独异点5. 同构关系必然是一个（）A）等价关系B)偏序关系C)同余关系D)同态关系6. 在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）A) a*b=a-b B) a*b=max{a,b} C) a*b=a+2b D) a*b=|a-b|7. 同构关系必然是一个（）A．等价关系 B.偏序关系 C.同余关系 D.相容关系8. 设<G,*>是群，a,b∈G,则下列结论不正确的是（）A．(a*b)-1=b-1*a-1 B．a*x=b有唯一解C．a*x=a*y,则x=y D．a*b=b*a9. 下面那个运算不满足运算的封闭性？（）A）自然数上的加法B）有理数上的乘法C）1到10之间的模11加法D）0到9之间的模10加法10. 下面那个不满足结合律？（）A)自然数上的加法B）有理数上的乘法C）自然数上的max(a,b) D)自然数上的减法11. 对于代数系统<Nk,+k>，Nk ={0,1,…,k-1}，+k是定义在Nk上的模k加法，下面说法不对的是：（）A）有零元B)有么元C)每个元素都有逆元D）<Nk,+k>是半群12. 下面关于半群的说法正确的是（）A）必有零元B）必有么元C）必然服从交换律D)必然服从结合律13. 若果<S,*>为半群，且S是有限集合，则以下说法正确的是（）A)必有a∈S,且a*a=a B) 必有a∈S,且a*b=bC)必有零元D）必有零元14. 关于独异点，下列说法正确的是（）A)必有零元B)必有等幂元C）必有么元D)必然满足交换律15. 以下说法不正确的是（）A)群表示范围比半群小B)交换群表示范围比半群小C)阿贝尔群表示范围比群小D）广群表示的范围比半群小16. 下面关于群的说法不正确的是（）A）必有零元B）必有么元C）每个必然有逆元D)必然服从结合律17. 下面那个是群？（）A)自然数上的乘法B)实数域上的乘法C) 0到9之间的模10加法D) 0到9之间的模10乘法18. 下面关于群<G,*>的说法不正确的是（）A)对于任a,b∈G,存在唯一的x∈G,使得a*x=bB)对于任a,b,c∈G，若有a*b=a*c,则必有b=cC)任a∈G，必有唯一的x∈G,使得a*x=e,e为么元D) 任a∈G，必有唯一的x∈G,使得a*x=x,x为零元19. 下面关于群的说法正确的是（）A)没有等幂元B) 有1个等幂元C)有2个等幂元D)和群的阶数有关20. 设<G,*>为一个群，下面关于G的子群的说法正确的是（）A)如果S是G的非空子集且*在S上是封闭的，则<S,*>就是<G,*>的子群B) 如果S是G的非空子集且含有么元，则<S,*>就是<G,*>的子群C) 如果S是G的非空子集，且对于任意S中的连个元素a,b都有a*b-1∈G,则<S,*>就是<G,*>的子群D) 如果S是G的非空子集，且<S,*>是半群,则<S,*>就是<G,*>的子群21. 下列说法那个是错误的。

（）A)循环群必定是阿贝尔群B)循环群必定有等幂元C)阿贝尔群必定是循环群D)循环群必定是交换群22. 下列那个说法是正确的？（）A)同态一定是同构的B）同构一定是同态的C)同态一定是同余的D)同态一定是等价的23. 如果f：R->R，对于任意的x∈R,f(x)=5x,则f是从<R,+>到<R,*>的一个（）A)单一同态B)满同态C)双射同态D)同构24. 含有3个元素的群有（）种情形。

A)1 B) 2 C) 3 D)025. .设G是非零乘法群，判断下列哪个f不是G到G的同态映射。

（）A）f(x)=|x| B)f(x)=-x C)f(x)=x+1 D)f(x)=1/x26. 下面关于群的说法不正确的是：（）A）有么元B）有零元C）每个元素都有逆元D）满足结合律27. .下面那个是群。

（）A）整数域上的加法运算B）实数域上的乘法运算C）自然数域上的除法运算D）整数1到5之间的模6加法运算28. .如果<A,+,*>是一个环，下列关于环的说法错误的是（）。

A）<A,+>是阿贝尔群B）<A-{θ},*>是阿贝尔群C）运算*对于+是可分配的D）运算+对于*是可分配的29. 关于独异点说法错误的是（）。

A)必有左么元B)必有右零元C)必然满足结合律D)必是含么半群30. 关于阿贝尔群说法错误的是（）。

A)必有左么元B)必有右零元C)必然满足交换律D)必是半群三.判断题1. 半群一定是独异点。

( )2. 代数系统中有可能有很多个左零元和右零元，它们有可能相等，也有可能不等。

( )3. 群中不可能有零元。

( )4. 群中的某些元素可能有多个不同的逆元。

（）5. 群的运算一定符合交换律。

（）6. 如果定义在集合A上的*运算既有左零元，又有右零元，那么必有唯一的零元。

（）7. 循环群必有等幂元。

（）8. 有等幂元的群一定是有限群。

（）9. 阿贝尔群运算一定符合交换律。

（）10. 有限群一定有么元。

（）11. 含有零元的半群叫独异点。

（）12. 在群中，出了么元外，可能还还有其他等幂元。

（）13. 对一个群<G,*>，它的任意一个非空有限子集B, 如果*在B上封闭，则<B,*>一定也是群。

（）14. .循环群一定是阿贝尔群。

（）15. 同构的一定是同态的。

（）16. 同态可以诱导一个唯一的等价关系。

（）17. .f是代数系统<A,*>到代数系统<B, ★>的同态映射，如果<A,*>半群，则在f作用下，同态象<f(A), ★>也是半群。

（）18. 循环群中必有零元。

（）19. <R-{0},*>(*表示乘法)与<R,+>同构。

（）20. 定义在自然数集合上的模k加法是一个群。

（）四.计算题1. 验证二元运算在实数集上是否满足交换律和结合律？2. 对于实数集合R，在下面表格中填写“是”或“否”3.设G={[1],[2].[3],[4],[5],[6]},G上的二元运算如表所示。