线性代数试题（附答案）一、填空题（每题2分，共20分）1.行列式0005002304324321= 。
2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解，且12≠k ,则k 的值为 。
3.若4×4阶矩阵A 的行列式*=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = 。
4.A 为n n ⨯阶矩阵，且ο=+-E A A 232，则1-A 。
5. 321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两组基，且32133212321122,2,23ξξξηξξξηξξξη++=++=++=，若由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的基变换公式为(321,,ηηη)=(321,,ξξξ)A ，则A= 6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa 。
7.设=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(,111012111,321212113AB tr AB B A 之迹则 。
8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133--⨯A A 。
9.二次型x x x x x x f 23222132123),,(--=的正惯性指数为 。
10.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1042024λλA 为正定矩阵，则λ的取值范围是 。
二、单项选择（每小题2分，共12分）1.矩阵()==≠≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i 则其中。
A 、1B 、2C 、3D 、4 2. 齐次线性方程组⎩⎨⎧=--=++-02023214321x x x x x x x 的基础解系中含有解向量的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、43.已知向量组=====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 （ ）A 、-1B 、-2C 、0D 、1 4. A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+（ ）A 、B=EB 、A=EC 、A=BD 、AB=BA5.已知=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(（ ） A 、1或2 B 、-1或-2 C 、1或-2 D 、-1或26.下列矩阵中与矩阵合同的是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-5000210002（ ） A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---200020001 B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-500020003 C 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001 D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020002三、计算题（每小题9分，共63分）1．计算行列式),2,1,0(000002211210n i a a c a c a c b b b a i nn n=≠其中2．当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=-++=+++=+++ax x x x x x x x x x x x x x x x a 4321432143214321710535105363132,线性方程组取何值时有解？在方程组有解时，用其导出组的基础解系表示方程组的通解。
3．给定向量组),7,0,3(),0,2,1,1(),6,5,1,2(),4,0,1,1(4321k a a a a =--==-=。
当k 为何值时，向量组4321,,,a a a a 线性相关？当线性组线性相关时，求出极大线性无关组，并将其们向量用极大线性无关组线性表示。
4．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=410110003A ，X B X AX B 求矩阵且满足,2,321163+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=。
5．已知n A 为阶正交矩阵，且|A|<0。
（1）求行列式|A|的值；（2）求行列式|A+E|的值。
6．已知实对称矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101020101A （1）求正交矩阵Q ，使Q -1AQ 为对角矩阵；（2）求A 10。
7．将二次型3231212322213214222),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=化为标准形，并写出相应的可逆线性变换。
四、证明题（5分）A 、B 均为n 阶矩阵，且A 、B 、A+B 均可逆，证明：（A -1+B -1）-1=B （A+B ）-1A试题二一、填充题（每小题2分，共20分） 1.=-00001002001000nn 。
2. n⎥⎦⎤⎢⎣⎡0011= （n 为正整数）。
3.设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1101，则1)2(-A = 。
4.非齐次线性方程组11⨯⨯⨯=m n n m b X A 有唯一解的充分必要条件是 。
5.向量下的坐标为在基T T T a )1,2(,)2,1()1,3(21===ηη 。
6.阶矩阵若n A 、B 、C 有ABC=E,E 为=-1C n 阶单位矩阵则 。
7.若n 阶矩阵A 有一特征值为2，则=-E A 2 。
8.若A 、B 为同阶方阵，则22))((B A B A B A -=-+的充分必要充分条件是 。
9.正交矩阵A 如果有实特征值，则其特征值等于λ 。
10.二次型的取则是正定的t x x x x t x x x f x x x ,2232),,(3121232221321++++= 值范围是 。
二、单项选择（每小题2分，共10分） 1.若的值为则120202,62122111222211211--=a a a a a a a a （ ） A 、12 B 、-12 C 、18 D 、02.设A 、B 都是则下列一定成立的是阶矩阵且,O AB n =（ ）A 、A=0或B=0B 、A 、B 都不可逆C 、A 、B 中至少有一个不可逆D 、A+B=O3. 向量组件是线性相关的充分必要条s a a a ,,21 （ ） A 、中含有零向量s a a a ,,21 B 、s a a a ,,21 中有两个向量的对应分量成比例C 、s a a a ,,21 中每一个向量都可用其余1-s 个向量线性表示D 、s a a a ,,21 中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示4.由的过渡矩阵为到基的基321332232113,,,,32a a a a a a a a R ==++=βββ（ ）A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300020321B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--103012001 C 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010321 D 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡103012001 5.若则相似与阶矩阵,B A n （ ）A 、它们的特征矩阵相似B 、它们具有相同的特征向量C 、它们具有相同的特征矩阵D 、存在可逆矩阵B AC C C T =使,三、计算题（每小题9分，共63分）1.计算行列式nn n n n n ------1100002000002200001113212.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=++-=+-+bx x x x a x x x x x x x x x x x x 4321432143214321574227212线性方程组 当a 、b 为何值时有解，在有解的情况下，求其全部解（用其导出组的基础解系线性表示）。
3.求向量组)11,9,5,8(),2,1,1,3(),10,7,1,1(),1,1,1,2(4321=--=-==a a a a 的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示。
4.设X B A X B AX 求其中,350211,101111010,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==+ 5.已知矩阵相似与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=,00030000300011011x B A （1）求B AP P P x =-1,)2(;使求可逆矩阵6.给定T T T a a a R )3,2,1(,)1,0,1(,)1,1,1(3213-=--==的基，将其化为的一组标准3R 正准交基，并求向量下的坐标在所求的标准正交基之T a )1,2,3(=。
7.化二次型3121232221321245),,(x x x x x x x f x x x ++-+=为标准形，写出相对应的非奇异线性变换。
并指出二次型的秩、正惯性指数及符号差。
四、证明题（7分）`如果A 是1)(,1)(),2(=-=≥*A r n A r n n 试证且阶矩阵 一、填空题（每小题2分，共20分）1.1602.-23.274. A E 2123- 5. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211122213 6.-9 7.7 8.1, 21-, 319.1 10. 33<<-λ二、单项选择（每小题2分，共12分） 1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.B 三、计算题（每小题9分，共63分） 1.将第2列的)(11a c -倍，第3列的列的第倍)1(,,)(22+-n a c )(n n a c-倍统统加到第1列上去，得nnnn n a a a b b b a c b a c b a c b a 00000000021212221110---=原式)(1021∑=-=ni iii n a c b a a a a 2.先对方程组的增广矩阵进行初等行变换⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=00000500001121004001000050000224201321132420448402242013211710535110513163113211a a a a A所以，当,5时=a 方程组有解，特解T ),0,0,1,0(0=γ其导出的基础解系为,)1,0,1,4()0,1,2,0(1T T -=-=η原方程组的全部解为2122110,,k k k k X ηηγ++=为任 意常数。
3.由向量组4321,,,a a a a 为列向量组作矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=140001100101020011400011001010402114000110010103121104022001010312112420725030303121064725001113121k k k k k k A当14=k 时，向量组4321,,,a a a a 线性相关。