专题09 数列
（十二）数列
1．数列的概念和简单表示法
（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.
（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数.
2．等差数列、等比数列
（1）理解等差数列、等比数列的概念.
（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.
（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.
（4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
与2017年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2018年的高考中预计仍会以“两小或一大”的格局呈现.
如果是以“两小”（选择题或填空题）的形式呈现，一般是一道较容易的题，一道中等难度的题，较易的题主要以等差数列、等比数列的定义、通项公式、性质与求和公式为主来考查；中等难度的题主要以数列的递推关系、结合数列的通项、性质以及其他相关知识为主来考查.
如果是以“一大”（解答题）的形式呈现，主要考查从数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项，前n项和，有时与参数的求解，数列不等式的证明等加以综合.试题难度中等.
考向一等差数列及其前n项和
样题1 若等差数列{}n a 满足递推关系1n n a a n +=-+，则5a =
A ．
92
B ．
94 C ．114 D ．134 【答案】
B 样题2 已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，且2315a a ⋅=，416S =．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）数列{}n b 满足11b a =，111n n n n b b a a ++-=
⋅. ①求数列{}n b 的通项公式；
②是否存在正整数m ，n （m n ≠），使得2b ，m b ，n b 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，则0d >．
由2315a a =，416S =，得()()1112154616
a d a d a d +⎧+=+=⎪⎨⎪⎩， 解得112a d ==⎧⎨⎩或172
a d ==-⎧⎨⎩（舍去）． 所以21n a n =-．
（2）①因为11b a =，11
1n n n n b b a a ++-=⋅，所以111b a ==， ()()1111111212122121n n n n b b a a n n n n ++⎛⎫-===- ⎪-+-+⎝⎭
，
即2111123b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，32111235b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，…，111122321n n b b n n -⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭（2n ≥）， 累加得1111122121n n b b n n -⎛⎫-=
-= ⎪--⎝⎭， 所以111321212121
n n n n b b n n n ---=+=+=---， 11b =也符合上式， 故3221
n n b n -=-，*n ∈N ．
考向二 等比数列及其前n 项和
样题3 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔仔细算相还”，其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了
A ．96里
B ．48里
C ．192 里
D ．24里
【答案】A
样题4 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，125n n n S S a +=++.
（1）证明：{}5n a +是等比数列；
（2）若5128n S n +>，求n 的最小值.
【解析】（1）因为125n n n S S a +=++，所以125n n a a +=+， 所以15210255
n n n n a a a a +++==++，而156a +=， 所以{}5n a +是以6为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）得156232n n n a -+=⨯=⨯，325n n a =⨯-，
∴()23322225n n S n =⨯++++-= ()21235626512n
n n n ⨯-⨯-=⨯---，
由5626128n n S n +=⨯->，得6723n >
， 因为5467223
>>，所以5128n S n +>时，n 的最小值为5. 考向三 数列的综合应用
样题5 等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =
A ．(1)n n +
B ．(1)n n -
C ．(1)2n n +
D ．(1)2
n n - 【答案】A
样题6 已知各项均不相等的等差数列{}n a 满足11a =，且125,,a a a 成等比数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2
{}n b 的前n 项和n S ． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
由题意得2215a a a =，即()2
114d d +=+， 解得2d =或0d =（舍去），
所以21n a n =-.
（2）由21n a n =-，可得
()()()()()1141111121212121n n n n n n n n a a n b a a n n n n +++⎛⎫=-=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭， 当n 为偶数时，
111111112113355721212121n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 当n 为奇数时，1n -为偶数，于是
1111111122113355721212121n n S n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 样题7 （2017山东文科）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且121236,a a a a a +==．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）{}n b 为各项非零的等差数列，其前n 项和S n ，已知211n n n S b b ++=，求数列{}n n b a 的前n 项和n T ．。