数学建模作业：成靖学号：1408030311班级：计科1403班日期：2015.12.301.某班准备从5名游泳队员中选4人组成接力队，参加学校的4×100m混合泳接力比赛，5名队员4种泳姿的百米平均成绩如下表所示，问应如何选拔队员组成接力队？如果最近队员丁的蛙泳成绩有较大的退步，只有1′15"2；而队员戊经过艰苦训练自由泳成绩有所进步，达到57"5，组成接力队的方案是否应该调整？名队员4种泳姿的百米平均成绩ij若参选择队员i加泳姿j 的比赛，记x ij=1, 否则记x ij=0目标函数:即min=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+58.6*x14+57.2*x21+66*x22+66.4*x23+53*x24 +78*x31+67.8*x32+84.6*x33+59.4*x34+70*x41+74.2*x42+69.6*x43+57.2*x44+ 67.4*x51+71*x52+83.8*x53+62.4*x54;约束条件: x11+x12+x13+x14<=1;x21+x22+x23+x24<=1;x31+x32+x33+x34<=1;x41+x42+x43+x44<=1;x51+x52+x53+x54<=1;x11+x21+x31+x41+x51=1;x12+x22+x32+x42+x52=1;x13+x23+x33+x43+x53=1;x14+x24+x34+x44+x54=1;∑∑===4151j iijijxcZMinlingo模型程序和运行结果因此，最优解为x14=1,x21=1,x32=1,x43=1,其余变量为0 成绩为253.2(秒)=4′13"2即：甲~ 自由泳、乙~ 蝶泳、丙~ 仰泳、丁~ 蛙泳.(2).若丁的蛙泳成绩退步为1′15"2=75.2(秒)，戊的自由泳成绩进步为57"5=57.5(秒)，则目标函数：min=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+58.6*x14+57.2*x21+66*x22+66.4*x23+53*x24+78*x31+67.8*x32+84.6*x 33+59.4*x34+70*x41+74.2*x42+75.2*x43+57.2*x44+67.4*x51+71*x52+83.8*x53+57.5*x54;约束条件：x11+x12+x13+x14<=1;x21+x22+x23+x24<=1;x31+x32+x33+x34<=1;x41+x42+x43+x44<=1;x51+x52+x53+x54<=1;x11+x21+x31+x41+x51=1;x12+x22+x32+x42+x52=1;x13+x23+x33+x43+x53=1;x14+x24+x34+x44+x54=1lingo模型程序和运行结果因此，最优解为x21=1,x32=1,x43=1,x54=1 ,其余变量为0;成绩为257.7(秒)= 4′17"7 ,新方案:乙~ 蝶泳、丙~ 仰泳、丁~ 蛙泳、戊~ 自由泳。
2.某工厂用A1，A2两台机床加工B1，B2，B3三种不同零件，已知在一个生产周期A1只能工作80机时，A2只能工作100机时。
一个生产周期加工B1为70件，B2为50件，B3为20件。
两台机床加工每个零件的时间和加工每个零件的成本，分别如下所示加工每个零件时间表（单位:机时/个）加工每个零件成本表(单位：元/个)问怎样安排两台车床一个周期的加工任务，才能使加工成本最低？解：设在A1机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为x1、x2、x3，在A2机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为x4、x5、x6,可建立以下线性规划模型：目标函数：min=2*x1+3*x2+5*x3+3*x4+3*x5+6*x6约束条件：x1,x2,x3,x4,x5,x6均为整数x1+2*x2+3*x3<=80x1+x2+3*x3<=100x1+x4=70x2+x5=50x3+x6=20lingo模型程序和运行结果最优解为x1=70,x2=0,x3=3,x4=0,x5=50,x6=17;最低成本价为407元。
即：在A1机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为70、0、3，在A2机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为0、50、17。
3.某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有以下限制：（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。
（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资?（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作?（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变?若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变?解：设投资证劵A、证劵B、证劵C、证劵D、证劵E的金额分别为：X1、X2、X3、X4、X5（百万元），投资之后获得的总收益为Y百万元。
(1).建立如下的线性规划模型：目标函数：maxY=0.043*X1+(0.054*0.5)*X2+(0.05*0.5)*X3+(0.044*0.5)*X4+0.045*X5 约束条件: X2+X3+X4>=4X1+X2+X3+X4+X5<=10(2*X1+2*X2+X3+X4+5*X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)<=1.4(9*X1+15*X2+4*X3+3*X4+2*X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)<=5整理化简可得：Max Y=0.043*X1+0.027*X2+0.025*X3+0.022*X4+0.045*X5；X2+X3+X4>=4；X1+X2+X3+X4+X5<=10；6*X1+6*X2-4*X3-X4+36*X5<=0；4*X1+10*X2-X3-2*X4-3*X5<=0；lingo模型程序和运行结果因此，最优解为Y=0.298，X1=2.182，X3=7.364，X5=0.454最优解方案不投资证劵B和证劵D，投资证劵A为218.2万元，投资证劵C为736.4万元，投资证劵E为45.4万元;总收益为29.8万元。
（2）.由问题（1）得:投资金额每增加100万元，收益可增加2.98万元，而借贷100万元所要支付的利息是2.75万元，比2.98万元少，因此应该借贷这100万元去投资。
目标函数仍为：Max Y=0.043*X1+0.027*X2+0.025*X3+0.022*X4+0.045*X5；X2+X3+X4>=4；X1+X2+X3+X4+X5<=11；6*X1+6*X2-4*X3-X4+36*X5<=0；4*X1+10*X2-X3-2*X4-3*X5<=0；lingo模型程序和运行结果因此，最优解为: X1=2.40,X3=8.10,X5=0.50,Y=0.328;即应投资证劵A 240万元，证劵C 810万元，证劵E 50万元。
此时收益总额为32.8万元，再减去所要支付的利息2.75万元，还剩30.05万元，比问题(1)中的收益总额29.8万元还要多，这也证明了借贷100万元来投资是明智的。
（3). 问题(1)的灵敏度分析可得下图：则在最优解不变的条件下目标函数系数允许的变化围：X1的系数为（0.043-0.013，0.043+0.0035），即（0.030，0.0465）；X3的系数为（0.025-0.0006，0.025+0.017），即（0.02494，0.042）；当证劵A的税前收益增加为4.5%时，其在目标函数中的系数为0.045，在最优解不变的条件下目标函数系数允许的变化围，因此投资方案不应该改变。
当证劵C的税前收益减少为4.8%时，其在目标函数中的系数为0.024，不在最优解不变的条件下目标函数系数允许的变化围，因此只有改变投资方案，才能使银行经理获得最大收益值。
4.某医院负责人每日至少需要下表数量的护士。
每班的护士在值班开始时向病房报到，连续工作8小时，医院领导为满足每班所需要的护士数，最少需要用多少护士？解：设在i班刚加入工作的人数分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6；目标函数为：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;约束条件：x1,x2,x3,x4,x5,x6均为整数x1+x2>=70x2+x3>=60x3+x4>=50x4+x5>=20x5+x6>=30x6+x1>=60lingo模型程序和运行结果因此，最优解为：x1=60、x2=10、x3=50、x4=0、x5=30、x6=0；最少需要护士150人。
5．某海岛上有12个主要的居民点，每个居民点的位置（用平面坐标x,y表示，距离单位：km）和居住的人数R如表下表所示，现在准备在岛上建一个服务中心为居民提供各种服务，那么服务中心应该建在何处？解：设第i 个居民点的位置（x i ，x j ），居住的人数为R i ，i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12;设服务中心的位置为（a ，b ）,无约束条件；服务中心应该让所有的人都方便，因此目标函数为min=∑R i 12i =1√(x i −a )2 +(x j −b )2lingo 模型程序和运行结果因此，服务中心应该建的位置是（3.19，3.20）第十一个小岛。
6.某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台。
每季度的生产费用为()2bx ax x f +=(元)，其中x 是该季生产的发动机台数，若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c 元。
已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始无存货，设a=50，b=0.2，c=4，问工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同有使总费用最低？讨论a 、b 、c 、变化对计划的影响，并作出合理的解释。
解：(1).设工厂第一季度生产x1台发动机，第二季度生产x2台发动机，第三季度生产x3台发动机。
目标函数：min=50*x1+0.2*x1^2+50*x2+0.2*x2^2+50*x3+0.2*x3^2+4*(x1-40)+4*(x1+x2-100); 约束条件：x 1,x2,x3均为整数 x1<=100;x2<=100; x3<=100; x1>=40;x1+x2>=100; x1+x2+x3>=180;lingo 模型程序和运行结果因此，最优解为：x1=50,x2=60,x3=70;即：工厂第一季度生产50台发动机，第二季度生产60台发动机，第三季度生产70台发动机。