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问题解决
波利亚充分肯定解题的一般教育价值,把教会学 生解题看做是教会学生思考,培养他们独立探索 的一条有效途径.
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如何解题
1. 积累认识的资源 2. 掌握转化的方法 3. 及时调控的能力 4. 良好信念系统的支持
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如何解题
综观主体解题的全部过程，解题的 要素，即解题中起重要作用的成分，大 致包括认识的资源、启发法、调控和信 念系统四个方面．这些要素组成一个有 机整体，为解题研究提供了一个基本的 理论框架，而其本身也是理论研究深入 发展的产物．
波利亚(George Polya)数学教育思想的核心问题: 数学教育的目的是什么？
1.波利亚主张数学教学的目的应当是提高学生的一 般素养:首先和主要的目标应当是教会青年思考.
2.教什么样的思考?数学是什么?数学有什么特点? 对数学及其意义的认识的教学观起着决定性的作用.
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3. 波利亚强调应该教有目的的思考,教正规的演绎 推理，也教非正规的似真的合情推理.
和组建适合个体特征的数学知识结构．也就是说，
实践波伊亚的建议，关键是在平时的学习中，要
注意不断改善数学认知结构变量，在同化和顺应
上多下功夫．对于“关键知识”，要弄清它的来
龙去脉，熟悉它的思维模式，抓住它的纵横联系，
在解题实践中有目的地整理自己的知识系统，不
断地添加积累新例子，编织可以随时提取的记忆
网络．
数学解题教学
没有一道题可以解决得十全十美，总存在值得 我们探究的地方。
——[美]G. 波利亚
解题既是一种实践活动，也是一种学习活动。 分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径。 学会解题有四步骤基本程式：简单模仿、变式练习、 自发领悟、自觉分析。
—— 罗增儒
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波利亚《怎样解题表》简介 波利亚的数学教育思想概述
(2) 应当把已经解过的带有同样类型未知量 的那些问题和已经证明过的结论相同的那些定 理“贮存在一起”．
(3) 应当把两个具体知识间切实可行的联系找 出来．对于彼此相关的问题，它们之间的联系 可能是共同的解法模式，可能是共同的未知量， 或有共同的已知数据，或存在着某种类似特点 以及诸如此类的其他方面．
问题. 是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否
考虑了包含在问题中的所有必要的概念?
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3. 实现计划
实现你的求解计划,检验每一步骤. 你能否清楚地看出这一步骤是正确的?
你能否证明这一步骤是正确的?
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4. 回顾
能否检验这个论证? 你能否用别的方法导出结果? 能不能一下子看出它来? 能不能把这结果或方法用于其他问题?
自我意识是以自身为意识对象的意识. 只 有对解题活动的信息输入、加工、储存、 输出有着清醒的自我意识，才能克服思维 获得的盲目性，增强主动性和自觉性.
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4. 良好信念系统的支持
信念是激励主体坚定不移地按照自己的 观点、原则和世界观去行动的的个性倾 向.具备信念的人，经常表现为坚信某种 观点的正确性，并由此支配自己的行动. 解题中的信念系统，泛指解题的非智力 因素，即解题者学习积极性方面的因素， 诸如观念、情感等方面的个性品质.
解题中的观念，主要是指解题者的数学观，即怎样看 待数学，怎样看待解数学题.
解题中的情感主要是指从事解题活动的愿望和决心.
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小结解题的要素：
（1）积累认识的资源； （2）掌握转化的方法； （3）培养调控的能力； （4）信念系统的支持
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波利亚的怎样解题表 解题过程分为以下四个阶段:
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怎样解题表的解释
第1 你必须了解问题(弄清问题) (1) 未知数是什么? (2) 已知数据是什么? (3) 条件是什么? (4) 满足条件是否可能? (5) 要确定未知数，条件是否充分? (6) 或者它是否不充分？或者它是多余的？
（1）我们这里所说的思考不是空想,而是有目的的思考或 有意义的思考或有成果的思考; （2）数学思考不是完全正规的,它不仅涉及到公理定义和 严格证明,而且还包含许多别的方面,从观察到的情况得出 的结论,归纳推理,类比推理.在具体的情况里辨认数学概念 或从具体情况进行抽象.
数学教师应不失时机地使他的学生熟知这些相当重 要的非正规的思想方法.
1. 弄清问题 2. 拟订计划 3. 实现计划 4. 回顾
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波利亚的怎样解题表
1 弄清问题
（1）未知数是什么?已知数据是什么？条件是什 么?满足条件是否可能?要确定未知数,条件是否 充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是 矛盾的? （2）画张图,并引入适当的符号. （3）把条件的各部分分开,并把它们写下来.
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波利亚在他的“怎样解题表”中，为了 激发学生找出已知条件与未知量之间的 关系，列了一类问题：你以前见过它吗？ 或者你见过同样的题目以一种稍有不同 的形式出现吗？尽量想出一道你所熟悉 的具有相同或相Fra bibliotek未知量的题目等等.
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用现代认知科学的理论来分析，数学知识
的合理组织，实质上就是按照解题的需要，改造
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2. 掌握转化的方法
解题，实质上就是确立题中条件与问题 或条件与结论逻辑上的必然联系，实现 由未知向已知的转化．因此把一个数学 题转化为我们曾经解决过的与之相似的 数学题就成为解题的关键。如何转化？
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3. 及时调控的能力
所谓调控，是指对所进行的解题活动（包 括解题模式的识别，解题策略的选择，解 题途径的探索，解题方案的构思，解题前 景的评价等）的自我意识、自我评估和自 我调整.
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2. 拟订计划
考虑以前是否见过它? 是否见过相同的问题而形式稍有不 同? 你是否知道一个可能用得上的定理?
考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题. 能否利用它的结果或方法?为了利用它,是否引入某些辅助
元素? 能否用不同的方法重新叙述它? 回到定义去. 如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的
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1．积累认识的资源 认识的资源，主要是指与解题有关的数
学基础知识和基本技能．把认识的资源 作为解题的要素，这是一个公认的常 识．事实上，任何解题都是以一定的数 学知识，包括运算技能、作图和画图技 能、算法和程序性知识等，作为必要条 件的．
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关于知识的组织，波伊亚曾提出以下建议：
(1) 对于任何主题都有一些“关键知 识’’(关键问题，关键定理)，这些“关键知 识”应存放在你记忆的“最前方”．