上篇用几何画板做数理实验图1-0、1我们主要认识一下工具箱与状态栏,其它的功能在今后的学习过程中将学会使用。
案例一四人分饼有一块厚度均匀的三角形薄饼,现在要把它平均分给四个人,应该如何分？图1-1、1思路:这个问题在数学上就就是如何把一个三角形分成面积相等的四部分。
方案一:画三角形的三条中位线,分三角形所成的四部分面积相等,(其实四个三角形全等)。
如图1-1、2。
图1-1、2方案二:四等分三角形的任意一边,由等底等高的三角形面积相等,可以得出四部分面积相等,如图1-1、3。
图1-1、3用几何画板验证:第一步:打开几何画板程序,这时出现一个新绘图文件。
说明:如果几何画板程序已经打开,只要由菜单“文件”→“新绘图”,也可以新建一个绘图文件。
第二步:(1)在工具箱中选取“画线段”工具;(2)在工作区中按住鼠标左键拖动,画出一条线段。
如图1-1、4。
注意:在几何画板中,点用一个空心的圈表示。
图1-1、4第三步:(1)选取“文本”工具;(2)在画好的点上单击左键,可以标出两点的标签,如图1-1、5:注意:如果再点一次,又可以隐藏标签,如果想改标签为其它字母,可以这样做:用“文本”工具双击显示的标签,在弹出的对话框中进行修改,(本例中我们不做修改)。
如图1-1、6图1-1、6在后面的操作中,请观察图形,根据需要标出点或线的标签,不再一一说明B 图1-1、5第四步:(1)再次选取“画线段”工具,移动鼠标与点A重合,按左键拖动画出线段AC;(2)画线段BC,标出标签C,如图1-1、7。
注意:在熟悉后,可以先画好首尾相接的三条线段后再标上标签更方便。
B图1-1、7第五步:(1) 用“选择”工具单击线段AB,这时线段上出现两个正方形的黑块,表示线段处于被选取状态;(2) 由菜单“作图”→“中点”,画出线段AB的中点,标上标签。
得如图1-1、8。
注意:如果被选取的就是点,点的外面会有一个粗黑圆圈。
在几何画板中,选取线段就是不包括它的两个端点的,以后的问题都就是这样,如果不小心多选了某个对象,可以按Shi f t键后用左键再次单击该对象取消选取。
BD图1-1、8第六步:用同样的方法画出其它两边的中点。
得如图1-1、9。
技巧:最快的方法就是:按住Shift 不放,用“选择”工具分别点击三条线段,可以同时选取这三条线段,再由“作图”→“画中点”(或按快捷键Ctrl+M),就可以同时画好三条边的中点。
BD图1-1、9第七步:用“画线段”工具连结DE 、EF 、FD,得如图1-1、10:技巧:画线段的另一方法,在保证画线工具出现的就是“画线段”按钮(不必选取)的前提下。
选取两点后,由菜单“作图”→“画线段”,(或按快捷键Ctrl+L),可以画出连结两点的线段。
本例最快的做法:1、选取“画点”工具,按住Shift 键不放在工作区中画三个点,这时三个顶点都保持选取状态2、按Ctrl+L,可以同时画出三条边并且三边同时被选取;3、按Ctrl+M,可以同时画出三边中点且三中点同时被选取;4、按Ctrl+L,可以同时画出小三角形三条边,标上标签即可。
BD图1-1、10第八步:(1) 按住Shift 键不放,用“选择“工具选取点A 、D 、F;(2) 由菜单“作图”→“多边形内部”填充多边形内部;(3) 保持内部的选取状态,由菜单“度量”→“面积”,可以量出ADF 的面积,如图1-1、11。
BD 面积 ADF = 0图1-1、11第九步:(1) 用同样的方法,填充并度量三角形BDE 、ECF 、DEF;(2) 选取DEF 的内部,由菜单“显示”→“颜色”,选择其它颜色,如蓝色,得到如图1-1、12。
BD面积 ADF = 0.77 cm 面积 DBE = 0.77 cm 面积 ECF = 0.77 cm 面积 DEF = 0.77 cm图1-1、2注意:在制作过程中,要经常保存文件,以免因意外原因造成文件丢失,以下每一个例子都就是这样,不再加以说明。
归纳结论:拖动顶点A 、B 、C 中的任一个,可以改变三角形的大小与形状,请观察不同情况下,四部分的面积就是否总就是相等？这样做可以完成分饼的任务不？说明:这就是通过实验来验证数学规律,不能保证结论一定就是正确,一般来说,有一些结果经过了人类的长期实践,大家都公认了它的正确性,这时会把这个结论作为公理直接使用;而大多数情况下,实验得到的结果仍然需要进行推理证明。
那么,实验有什么用呢？实验可以帮助我们认识规律,更容易接受知识,并且常常可以让我们找到解决问题的方向。
练习:1、对于方案二,四等分面积的问题就转化为四等分线段的问题,四等分线段可以用哪些方法？2、为了方便在改变等分的份数(例如要分成五份)时方法仍然能用,这里介绍利用平行线等分线段的方法把一条线段四等分。
第一步:(1) 选取“画射线”工具;(2)移动鼠标到与点A重合,按住左键拖动,画出一条以点A为端点的射线AD,得如图1-1、13。
A图1-1、13第二步:(1) 选取“画点”工具,移动鼠标到射线AD上,在靠近点A处单击画出一个点E,得如图1-1、14;(2) 按住Shift键不放,用“选择”工具,依次选取点A、E,由菜单“变换”→“标记向量A-E”。
说明:标记了一个向量后,可以在后面的平移变换中按这个向量来平移,保证出现若干段相等的线段,标记向量时,一定要注意选选择点的先后顺序。
A图1-1、14第三步:(1) 用“选择”工具选取点E,由菜单“变换”→“平移…”,在弹出的对话框中点“确定”即可得一点Ｅ’;(2) 选取Ｅ’,做同样的操作可以得Ｅ’’,……,这样做下去,直到得到您想要的若干段相等的线段,这里就是四段,如图1-1、15。
A图1-1、15第四步:(1) 连结BＥ’’’;(2)同时选取线段BＥ’’’、点E、Ｅ’、Ｅ’’,由菜单“作图”→“平行线”,画出了一组平行线,如图1-1、16。
图1-1、16第五步:(1) 用“选择”工具单击平行线与AB相交处,得到三个四等分点;(2) 选取所有平行线、射线AD及AD上的点(除A外),由菜单“显示”→“隐藏对象”,可以隐藏制作过程中的辅助线。
得如图1-1、17。
以下只要连结点C与三个四等分点就行了,……注意:在最后结果中不需要瞧到的对象,一般就是把它隐藏,如果您选取后删去了它,您会发现您要的四等分点也会消失,这就是因为这些点就是受辅助线控制的,隐藏的对象只就是瞧不到,但它仍然起作用。
隐藏与删除就是不同的。
如有问题,请到几何画板分版,下载案例一的练习供参考。
A BC图1-1、17３、自己比较一下这两种方法,在只需要四等分的情况下,哪种方法方便？,在需要其它等分的情况下,哪种方法更具有一般性？案例二三角形的内角与现有一块三角形的木板,用来制作一个半圆形的木盖,请设计一个浪费比较小并且便于施工的方案。
图1-2、1思路:以三角形较短一边的一半为半径,以三个顶点为圆心画弧,得到三个扇形后拼成半圆,如图1-2、2:图1-2、2那么,如何知道拼成的一定就是一个半圆呢？下面用几何画板做一个实验来说明。
方案:画一个三角形;量三个内角的度数;用几何画板的计算功能计算三个内角的与。
如果对于任意的三角形,总有内角与就是1800,那么说明拼成的一定就是一个半圆形。
用几何画板验证:第一步:新建一个几何画板绘图文件。
画出三角形ABC第二步:(1) 选取“选择”工具,按住Shift不放,依次选取点B、A、C;(2) 由菜单中的“度量”→“角度”,量出∠BAC的度数,用同样的方法度量其它两个角。
如图1-2、3说明:由于每个人画的图不同,度数不一定与图1-2、3一样)。
注意:选一个角的关键就是角的顶点要第二个选。
ABBAC = 45.0?ABC = 74.6?ACB = 60.4?图1-2、3第三步:由菜单“度量”→“计算”弹出一个计算器,依次点击“∠BAC=…”、“+”、“∠ABC=…”“+”、“∠ACB=…”、“确定”,如图1-2、4。
说明:“∠BAC=…”在本例中就是“∠BAC=45、00”,这里用省略号表示,就是因为每个人画的图不同,量出的度数有可能不同,以后类似的问题都这样来表示。
技巧:弹出计算器的方法有:(1) 由菜单“度量”→“计算”;(2) 双击工作区中的任一度量值,如“∠BAC=…”;(3) 在工作区中击鼠标右键,由“度量”→“计算”。
BAC = 45.0?ABC = 74.6?ACB = 60.4?BAC + ABC + ACB = 180.0?图1-2、4归纳结论:如有问题,请到几何画板分版,下载案例二供参考。
练习:1、自己画一个凸四边形,度量它的内角,计算内角与,验证凸四边形的内角与就是3600。
如有问题,请到几何画板分版,下载案例二练习1供参考。
2、用“选择”工具同时选取点A、B,由菜单“度量”→“距离”,可以度量出线段AB的长度,请您用上面所学的知识验证“三角形的两边之与大于第三边,三角形的两边之差小于第三边”。
如有问题,请到几何画板分版,下载案例二练习2供参考。
案例三最佳行走路线如图1-3、1:您身在草原上,现在要走到公路边去等车,请设计一个最佳行走路线。
图1-3、1思路:把人所处位置瞧作一个点,公路瞧作一条直线,行走的路线瞧作线段,由垂线段最短可以找到最佳行走路线。
方案:画一条直线,过直线外一点引直线的垂线段与斜线段,度量线段的长,动态验证垂线段最短。
用几何画板验证:第一步:新建一个几何画板绘图文件。
第二步:(1) 按住工具箱中的画线工具不放,在弹出的工具条中选取“画直线”工具,按住鼠标左键拖动画出一条直线;(2) 用“画点”工具在直线外画一点,如图1-3、2。
A图1-3、2第三步:(1) 按Shift键,用鼠标选取点C与直线AB,(不要选取点A与B);(2) 由菜单“作图”→“垂线”,画出了过点C垂直于AB的直线,如图1-3、3说明:虽然点A、B在直线AB上,但选取直线时并没有选取直线上的点,在后面的学习中,如果要求选取直线、线段、圆等对象,这时不要把对象上的点也选取,除非特别指明要选取这些点。
A BC图1-3、3第四步:(1) 用“选择”工具单击垂足处,定义出垂足,标上标签D;(2) 选取垂线CD(不要选取点C、D)、点A、B,由“显示”→“隐藏”,把选取的对象隐藏,用“文本”工具在直线上点一下,标出直线的标签j;(3) 选“画线段”工具,连结线段CD,如图1-3、4。
说明:点A、B就是控制直线AB的点,通过拖动这两点,可以改变直线的方向与位置,一般情况下,如果不想再改变直线的位置,或不再画其它线经过这两个点,可以在制作完成后把它隐藏。
CE 1-3、4第五步:(1) 选取“画线段”工具;(2) 移动鼠标到点C 处,按下左键拖动,当鼠标位于直线j 上时松开,如图1-3、5。