2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则中元素的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 52.若，则( )A. B. C. D.3.设一组样本数据的方差为0.01，则数据的方差为( )A. 0.01B. 0.1C. 1D. 104.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为( )（In193）A. 60B. 63C. 66D. 695.已知，则( )A. B.C. D.6.在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为( )A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 直线7.设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，若，则的焦点坐标为( )A. B. C. D.8.点到直线距离的最大值为( )A. 1B.C.D. 29.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A. B. C. D.10.设，，，则（）A. B. C. D.11.在中，，，则（）A. B. 2 C. 4 D. 812.已知函数，则( )A. 的最小值为2B. 的图像关于轴对称C. 的图像关于直线对称D. 的图像关于直线对称二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y 满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为_____.14.设双曲线的一条渐近线为,则的离心率为______.15.设函数，若，则a=____.16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的切球表面积为_________三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.（12分）设等比数列满足，（1）求的通项公式；（2）记为数列的前n项和. 若，求m.18.（12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：[0,200]（200,400]（400,600]锻炼人次空气质量等级1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。

根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次400人次>400空气质量好空气质量不好附：，，19.（12分）如图，在长方体中，在,分别在棱，上，且，，证明：（1）当时，;（2）点在平面内.20.（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围.21.（12分）已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点.（1）求的方程：（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积.22.[选修4-4: 坐标系与参数方程] （10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为与坐标轴交于两点.（1）求：（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.23.[选修4-5: 不等式选讲] （10分）设（1）证明：；（2）用中的最大值，证明：答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了交集的运算，属于基础题.【解答】解：∵，，∴，∴中元素个数为3.故选B.2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，属于基础题.先由复数的四则运算法则求出，再利用共轭复数的概念得到答案.【解答】解：由，得，所以z＝i，故选D.3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查方差的运算，是基础题.【解答】解：设的平均数为，方差所以的平均数为，方差 ,故选.4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查指数式与对数式的互化，属于基础题.根据题意可得，解出的值.【解答】解：由题可知，所以，，解得故选C.5.【答案】B【解析】【分析】本题考查两角和的正弦公式和辅助角公式，属于基础题.根据两角和的正弦公式展开，再整理利用辅助角公式即可得答案.【解答】解：∵，∴=得故选：.6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了动点的轨迹问题及向量数量积的坐标运算，属一般题．根据题意建立平面直角坐标系，设出点A、B、C的坐标，得到和的坐标，由向量数量积的坐标运算公式即得动点坐标所满足的方程，从而得到动点C的轨迹．【解答】解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设，，，则，，由题意，得即，因此，动点C的轨迹是圆，故选A.7.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系及抛物线的性质，基础题．根据直线x=2与抛物线交于D、E两点，确定D、E两点坐标，由OD⊥OE可得，可确定p的值，从而得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：根据题意得D（2，2p）,E（2，-2p）,因为OD⊥OE，可得，所以4-4p=0，故p=1，所以抛物线C：y2=2x，所以抛物线的焦点坐标为(,0).故选B．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查定点到过定点的直线的最大距离问题，属于基础题.根据点到直线的距离和两点间的距离公式，即可求解.【解答】解：因为直线y=k(x+1)恒过点（-1，0），要使得点（0，1）到直线的距离最大，此时点到直线的距离即为（0，1）与（-1，0）两点的距离，此时最大距离为.故答案选B9.【答案】C【解析】【分析】本题考查由三视图求几何体的表面积，考查空间想象能力，难度一般.先由三视图还原几何体，即可求出表面积.【解答】解：由三视图可知该几何体是底面为腰长2的等腰直角三角形，一侧棱长为2且垂直底面的三棱锥，如下图故其表面积为故选C.10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了对数比较大小，属于中档题.分别将c转化为以3，5为底数，与a,c比较大小，即可得到结果.【解答】解：，，，，，，故选A.11.【答案】C【解析】【分析】本题考查解三角形，余弦定理的应用，注意三角形的形状即可.【解答】解：根据题意：，解得：AB=3 则；（负值舍去）故.故选C12.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查三角函数的性质，属于中档题.【解答】解：A. 由于，故A错误；B. ，故B错误；C. ，，，故C错误；D.，，，则的图象关于直线对称，故D正确，故选D.13.【答案】7【解析】【分析】本题考查了根据线性规划求最值，属较易题．本题先根据线性约束条件画出平面区域，再利用图解法即可求出目标函数的最大值．【解答】解：画出不等式组所表示的平面区域，如图所示由得点A坐标为，由得点B坐标为，即不等式所表示的平面区域为（包括边界），再将化为，可看作斜率为，截距为z的一族平行直线，由图可知，当直线经过点A时，截距z最大，因此，当时，，故选答案为7．14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查双曲线的简单几何性质，属于基础题。

根据渐近线方程，可得，再利用离心率公式即可求得结果。

【解答】解：∵双曲线的渐近线为，∴∴离心率故答案为：15.【答案】1【解析】【分析】本题考查导数的运算，考查运算求解能力，属于较易题.【解答】解：，解得故答案为1.16.【答案】【解析】【分析】本题考查圆锥的内切球问题以及球的体积公式，通过列方程进行求解即可.【解答】解：如图，由题意可知，，圆锥内半径最大的球满足与底面相切于，与侧面相切于点，设球的半径为，则，且，解得，故.故答案为.17.【答案】解：（1）设等比数列的公比为，因为，，；（2）由（1）可知，可判断出数列是以0为首项，1为公差的等差数列，，，解得：或（舍去）所以.【解析】本题主要考查等比数列的通项公式，等差数列的判断及其前项和公式，属基础题.（1）根据等比数列的通项公式列出关于首项与公比的方程组，解得首项与公比，得到通项公式；（2）由（1）可得数列的通项公式，从而判断出该数列为等差数列，利用等差数列的求和公式列出关于的方程，求得的值即可.18.【答案】解：（1）空气质量等级为1的概率为;空气质量等级为2的概率为;空气质量等级为3的概率为;空气质量等级为4的概率为;(2) 一天中该公园锻炼的平均人次的估计值为；（3）人次人次空气质量好3337空气质量不好228有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【解析】本题考查了独立性检验和古典概率，属于中档题.19.【答案】证明：(1)因为是长方体，所以,而,所以.又,所以四边形为正方形，有,又，平面，所以平面，又平面,所以.(2) 取靠近的三等分点,连结,因为在上，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.又在上，且,所以,且，从而,,所以四边形为平行四边形，所以,所以,故四点共面，点在平面内.【解析】本题考查了线面垂直的判定及性质，四点共面判定等知识，属中档题.(1)通过可得，四边形为正方形，有,所以平面，进而可得.(2)通过画辅助线，可证明四边形和四边形均为平行四边形，由平行传递性可得，故四点共面，点在平面内.20.【答案】解：（1）求导得，定义域为，当时，，在上单调递增；当时，令得或，令得，故函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）当时，在上单调递增，不符题意，故，的极大值为，极小值为，要使有三个零点，则，∵，即，解得.【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数问题，属较难题.21.【答案】解：（1）∵，，∴，∴C的方程为 .（2）由题：A(-5,0),B(5,0),设Q(6,t),显然，则，∵，则，则直线BP方程为：，联立，化简得，解得，，∵，∴，即，代入，解得，当时，Q(6,2),P(3,1)，，PQ方程为：，点A到直线PQ的距离为，则；当时，Q(6,8),P(-3,1)，，PQ方程为：，点A到直线PQ的距离为，则，根据对称性，时面积均为，综上：的面积为.【解析】本题考查椭圆方程的求解，两点间距离公式，直线方程，点到直线距离公式的综合运用，属于较难题.22.【答案】解：（1）令，即，解得（），将代入参数方程得令，即，解得（），将代入参数方程得，不妨设，则.（2）直线AB的直角坐标方程为，化简得，由，化为极坐标方程为.【解析】本题考查参数方程的概念，直角坐标方程与极坐标方程的互化，属于基础题分别令，即可求出A、B两点的坐标，即可求解.23.【答案】证明（1）∵，∴，∵，∴，即，∴，即.（2）∵，∴a,b,c同正或两负一正，∵，∴a,b,c不可能同正，即a,b,c两负一正，不妨设，则，由题意得，a,b可看成是一元二次方程的两根，因两根存在，则，解得，即【解析】本题考查不等式的证明，属于中档题.运用恒等变换和一元二次方程根与系数的关系即可证明.。