北师大版九年级上学期第一章 平行四边形及特殊的平行四边形证明题集锦1.（1）如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ． 求∠AEB 的大小；（2）如图2，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.，^2．如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：长度关系及所在直线的位置关系；（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．@|（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ， CG=kb (a ≠b ，k >0)，B A OD;C E 图2C B OD 图1[ AE 图1图2图3第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结DG 、BE ，且a =3，b =2，k =12，求22BE DG 的值．：；3.如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． ？解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90º．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么（2）如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90º，点D 在线段BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）CF 相交于点P ，求线段CP 长的最大值．{4.已知：如图，点C 在线段AB 上，以AC 和BC 为边在AB 的同侧作正三角形△ACM 和△BCN ，ABCDEF图甲图乙FEDC BAF EDCB A图丙连结AN 、BM ，分别交CM 、CN 于点P 、Q．求证：PQ ∥AB ．…5.如图，在正方形ABCD 中，△PBC 、△QCD 是两个等边三角形，PB 与DQ 交于M ，BP 与CQ 交于E ，CP 与DQ 交于F 。
求证：PM = QM 。
(6.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB ＝AC －BD ，则∠B ∶∠C 的值为多少|%7、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 、F 分别是BC 、AB 、AC 上的点，BD ＝CF ，CD ＝BE ，G 为EF 中点，连结DG ，问DG 与EF 之间有何关系证明你的结论。
、—8.已知：三角形ABC 和CDE 为等腰直角三角形，点F 、G 分别为BE 和AD 的中点，连接FG 和GC ，试说明FG 和GC 的关系。
AB CD*9.如图，已知△ABC ，∠ACB=90°，分别以AB 、BC 为边向外作△ABD 与△BCE ，且DA=DB ，BE=EC ，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC ，连接DE 交AB 于点F ，试探究线段DF 与EF 的数量关系，并加以证明。
<^10.已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．%，11.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．APC ·DBPC GFB>QAD E$'12.如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．"13如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．<-14、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．%15、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．* AFD ECBEDA C 【BFE FNM D ABCA)16、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ． >,17.如图2-1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，（1）将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转90°，得到Rt △AC'B'，直线BB'交直线CC'于点D ，连接AD. 探究：AD 与BB'之间的关系，并说明理由。
（2）如图2-2，若将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转任意角度，其他条件不变，还有（1）的结论吗为什么—~《18.在△ABC 与△BDE 中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE ，AC=BE ，分别是的中点，连接MN 交CE 于点K （1）如图3-1，当共线，AB=2BC 时，探究CK 与EK 之间的数量关系，并证明；（2）PADCB如图3-2，当不共线，AB≠2BC时，（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将题目中的条件“∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AC=BE”都去掉，再添加一个条件，写出一个类似的对一般三角形都成立的问题（画出图形，写出已知和结论，不用证明）$}19.如图，△ABO与△CDO均为等腰三角形，且∠BAO=∠DCO=90°，M为BD的中点，MN⊥AC，试探究MN与AC的数量关系，并说明理由。
}—%20.填空或解答：点B ．C ．E 在同一直线上，点A ．D 在直线CE 的同侧，AB ＝AC ，EC ＝ED ，∠BAC ＝∠CED ，直线AE 、BD 交于点F 。
（1）如图①，若∠BAC ＝60°，则∠AFB ＝_________；如图②，若∠BAC ＝90°，则∠AFB ＝_________；（2）如图③，若∠BAC ＝α，则∠AFB ＝_________（用含α的式子表示）；（3）将图③中的△ABC 绕点C 旋转（点F 不与点A ．B 重合），得图④或图⑤。
在图④中，∠AFB 与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB 与∠α的数量关系是________________。
请你任选其中一个结论证明。
~20.已知：如图①所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点．（1）求证：①；②是等腰三角形．（2）在图①的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（}ABC △ADE △AB AC =AD AE =BAC DAE ∠=∠B A D ，，BE CD M N ，，，BE CD ，BE CD =AMN △ADE △A 180《C EN DABM图①?C A EMBDN ，图②21.如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边，向外作正方形ABFG 和ACDE ，连接EG 求证：ABC AEG S S △△￥[22.如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边，向外作正方形ABFG 和ACDE ，连接EG 。
若O 为EG 的中点求证:BC=2AO{23. 如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边，向外作正方形ABFG 和ACDE ，连接EG ，若O 为EG 的中点，OA 的延长线交BC 于点H ？求证：AH ⊥BC:24. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若AH⊥BC，HA的延长线交EG于点O求证：O为EG的中点￥&25. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接BE，CG求证：（1）BE=CG（2）BE⊥CG\'26. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接BE，CG作FM⊥BC，交CB的延长线于点M，作DN⊥BC，交BC的延长线于点N求证：FM+DN=BC27. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接BE，CG、FD,O是FD中点，OP⊥BC于点P求证：BC=2OP28. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接CE，BG、GE ,M、N、P、Q分别是EG、GB、BC、CE的中点求证：四边形MNPQ是正方形29. 如图，已知P是等边△ABC的BC边上任意一点，过P点分别作AB、AC的垂线PE、PD，垂足为E、D。
问：△AED的周长与四边形EBCD的周长之间的关系30. 如图，已知∠MON的边OM上有两点A、B，边ON上有两点C、D，且AB＝CD，P为∠MON 的平分线上一点。
问：（1）△ABP与△PCD是否全等请说明理由。
（2）△ABP与△PCD的面积是否相等请说明理由。