分式全章复习与巩固(基础)【学习目标】1. 理解分式的概念,能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2.了解分式的基本性质,掌握分式的约分和通分法则.3.掌握分式的四则运算.4.结合分式的运算,将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数,构建和发展相互联系的知识体系.5.结合分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法,体会解方程中的化归思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1.分式一般地,如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子,B叫做分母.要点诠释:分式中的分母表示除数,由于除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即当B≠0时,分式AB才有意义.2.分式的基本性质(M为不等于0的整式).3.最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式,要进行约分化简. 要点二、分式的运算1.约分利用分式的基本性质,把一个分式的分子和分母的公因式约去,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分.2.通分利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把异分母的分式化为同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分.3.基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: (1)加减运算a b a bc c c±±=;同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减. ;异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.(2)乘法运算a c acb d bd⋅=,其中a b c d 、、、是整式,0bd ≠. 两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母. (3)除法运算a c a d adb d bc bc÷=⋅=,其中a b c d 、、、是整式,0bcd ≠. 两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后,与被除式相乘. (4)乘方运算分式的乘方,把分子、分母分别乘方. 4.零指数.5.负整数指数6.分式的混合运算顺序先算乘方,再算乘除,最后加减,有括号先算括号里面的. 要点三、分式方程 1.分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程.3.分式方程的增根问题 增根的产生:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,当把分式方程转化为整式方程后,方程中未知数允许取值的范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0,那么就会出现不适合原方程的根---增根.要点诠释:因为解分式方程可能出现增根,所以解分式方程必须验根.验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中,看它是否为0,如果为0,即为增根,不为0,就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似,但要稍复杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节,从而正确列出方程,并进行求解. 【典型例题】类型一、分式及其基本性质1、在ma y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π中,分式的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5【变式】当x 为任意实数时,下列分式一定有意义的是( )A. B. C. D.2、当x 为何值时,分式293x x -+的值为0?【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值,再检验这个值是否使分母的值等于0,当它使分母的值不等于0时,这个值就是要求的字母的值.【总结升华】分式的值为0的条件是:分子为0,且分母不为0,即只有在分式有意义的前提下,才能考虑分式值的情况. 举一反三: 【变式】(1)若分式的值等于零,则x =_______;(2)当x ________时,分式没有意义.类型二、分式运算3、计算:2222132(1)441x x x x x x x -++÷-⋅++-.举一反三:【变式】计算:(1)332212b b a a ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(2)2224222a a a a a a ⎛⎫- ⎪+--⎝⎭; (3)6333aa a a a a ⎛⎫-÷⎪-+-⎝⎭.4、计算:(1)5231010-⨯⨯;(2)134139m npmn p ----÷;(3)22223a a b b ⎛⎫-⎛⎫÷⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(4)1322233(3)(2)(3)mn m n m n ----÷.类型三、分式方程的解法5、解方程23222x x x -=+-举一反三: 【变式】()1231244x x x -=---,类型四、分式方程的应用6、某质检部门分别抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检查,测得甲厂有合格的产品48件,乙厂有合格的产品45件,甲厂的合格率比乙厂的合格率高5%,问甲厂的合格率是多少?举一反三:【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上,并且小明上学要路过王老师家,小明到王老师家的路程为3 km ,王老师家到学校的路程为0.5 km ,由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线,为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍,每天比平时步行上班多用了20 min ,王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?拓展类型五、分式条件求值的常用技巧7、已知14x x+=,求2421x x x ++的值.举一反三:【变式】已知a b c 、、为实数,且13ab a b =+,14bc b c =+,15ac c a =+, 求abcab bc ca++的值.8、设0abc ≠,且3270a b c +-=,74150a b c +-=,求22222245623a b c a b c --++的值.举一反三:【变式】已知22230x xy y --=,且x y ≠-,求2x x y x y--的值.类型五、分式方程的应用9、某公司投资某个项目,现有甲、乙两个工程队有能力承包这个项目,公司调查发现:乙队单独完成工程的时间是甲队的2倍;甲乙两队合作完成工程需要20天;甲队每天的工作费用为1000元,乙队每天工作费用为550元,根据以上信息,从节约资金的角度考虑,公司应选择哪个工程队,应付工程队费用多少元?举一反三:【变式】某项工程限期完成,甲队独做正好按期完成,乙队独做则要误期3天.现两队合做2天后,余下的工程再由乙队独做,也正好在限期内完成,问该工程限期是多少天?【巩固练习】 一.选择题1.下列变形从左到右一定正确的是( ).A.22--=b a b a B.bc ac b a = C.ba bx ax = D.22ba b a = 2.把分式yx x+2中的x y 、都扩大3倍,则分式的值( ). A.扩大3倍B.扩大6倍C.缩小为原来的31D.不变3.下列各式中,正确的是( ). A.y x yx y x y x +-=--+-B.y x yx y x y x ---=--+-C.yx yx y x y x -+=--+-D.yx yx y x y x ++-=--+-4.式子222x x x +--的值为0,那么x 的值是( )A .2B .-2C .±2D .不存在5.下列计算中正确的是( ). A.()011-=-B.()111--=C.33212a a=-D.4731)()(a a a =-÷- 6.下列分式中,最简分式是( ).A.21521yxyB.y x y x +-22C.222x xy y x y-+-D.y x y x -+227.将分式方程2514326242y yy y+-+=--化为整式方程时,方程两边应同乘( ).A .()()2642y y --B .()23y -C .()()423y y --D .()()232y y --8.方程14233x x x -+=--的解是( ) A .0B .2C .3D .无解二.填空题9.23-=______,=--3)51(______.10.当x ______时,分式121-+x x 有意义.11.当x ______时,分式122+-x 的值为正.12.2232)()(yx y x -÷=______.13.232])[(x y -=______.14.写出下列分式中的未知的分子或分母:(1)2218324()m n m mn =;(2)2()a b ab a b -=;(3)22()x xy x yx --=. 15.分式方程1712112-=-++x x x 若要化为整式方程,在方程两边同乘的最简公分母是______. 16.方程256x x x x -=--的解是______. 三.解答题17.计算2312212422a a a a ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭;(2)222244244x x x x x x x +-++++.18. 已知1x =+2111242x x x +-+--.19. 已知345x y z==,求23x y x y z +-+的值.20.在“情系海啸”捐款活动中,某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计,得到如下三条信息:信息一:甲班共捐款300元,乙班共捐款232元.信息二:乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的45. 信息三:甲班比乙班多2人.请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元.【巩固练习2】 一.选择题1.下列关于x 的方程,其中不是分式方程的是( )A.aba a x +=+1 B.x a b x b a +=-11 C.b x a a x 1-=+ D.1=-+++-n x m x m x n x2.ba ba b a b a b a b a -+⨯-+÷-+22)()(的结果是( ) A .ba ba +- B .ba ba -+ C .2)(ba b a -+ D .13.分式方程)2(6223-+=-x x x x 的解是( ) A .0B .2C .0或2D .无解4.某班学生军训打靶,有m 人各中靶a 环,n 人各中靶b 环,那么所有中靶学生的平均环数是( )A .a b m n++ B .am bn m n ++ C .1()2a b m n + D .1()2am bn + 5.某农场挖一条480米的渠道,开工后,每天比原计划多挖20米,结果提前4天完成任务,若设原计划每天挖x 米,那么下列方程正确的是( )A .480480420x x -=+ B .480480204x x -=+ C .480480420x x -=- D .480480204x x -=- 6.化简22)11(yx xy y x -⋅-的结果是( ). A .y x +1 B .y x +-1 C .x y - D .y x -7.若关于x 的方程2403x x a x -+=-有增根,则a 的值为( ). A .13 B .-11 C .9 D .38. 甲、乙两人分别从两地同时出发,若相向而行,则经过ah 相遇;若同向而行,则经过bh甲追上乙.那么甲的速度是乙的( )A .a b b +倍B .b a b +倍C .a b b a +-倍D .b a b a-+倍 二.填空题9.若分式1||2--x x x 的值为0,则x 的值为______. 10.若2212x y xy -=,且xy >0,则分式yx y x -+23的值为______. 11.化简2222936a b a b ab =-______;2426aa ab -=______. 12.=-+---|3|)12()21(01______.13.计算()()2232a ab --并把结果化成只含有正整数指数幂形式为______. 14.2x =是否为方程11322x x x -=---的解?答:______. 15.若分式方程127723=-+-x a x x 的解是0x =,则a =______.16.a 个人b 天可做c 个零件(设每人速度一样),则b 个人用同样速度做a 个零件所需天数是________.三.解答题17.(1)已知13a a +=,求221a a +,441a a+的值; (2)已知2217a a +=,求1a a-的值.18. 已知345x y y z z x ==+++,求()()()xyz x y y z x z +++的值.19. a 为何值时,关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根?20. 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包,上市后发现供不应求,商店又购进第二批同样的书包,所购数量是第一批购进数量的3倍,但单价贵了4元,结果第二批用了6300元.(1)求第一批购进书包的单价是多少元?(2)若商店销售这两批书包时,每个售价都是120元,全部售出后,商店共盈利多少元?。