生存年金与确定性年金的关系
确定性年金
支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）
生存年金与确定性年金的联系
都是间隔一段时间支付一次的系列付款
生存年金与确定性年金的区别
确定性年金的支付期数确定 生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条
件）
生存年金的用途
被保险人保费交付常使用生存年金的方式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生存
四、年金精算现值与寿险趸缴纯保费的关系
Ax 1 ax
证明:
Ax
vt
0
fT
t dt
0
v
t
FT
t
dt
vt(
0
tq x
) dt
0
v
t
.(
t
p
x
)dt
－( v t .t px
) |0
( vt
0
).t pxdt
1
0
v
t
.ln
v
.t
pxdt
1
0
v
t
.t
pxdt
1 ax
同理可得：
Ax:n 1 ax:n
n| a x
Ax:n
Ax
a m| x:n
Ax:m Ax:mn
Y的方差
1、终身生存年金
VarY
2 Ax ( Ax 2
)2
2、n年定期生存年金
Var Y
2
(a x:n
a2 x:n
)
(a x:n
)2
3、延期n年的终身生存年金
Var Y
2
.v 2n
1 n Ex
称为累积因子
例1：某25岁的男性购买了定期生存险，按保单规定：若能满65岁，
可获得10000元。已知i＝6％，计算（1）趸缴纯保费。
（2）25岁时缴纳的10000元在65岁时的精算累积值
（利用附录中的生命表）
解： 1000040 E25 10000 v4040 p25
10000 e 40 l65 l25
0
e 0.06t .e 0.04t dt
0
e 0.1t dt
lim b
b 0
e 0.1t dt
lim(
b
1 0.1
e
0.1t
)
|b0
10
例2：设余命T 的概率密度函数为f(t) 0.015e－0.015t(t 0),利息
－
－
力＝0.05,计算：（1）ax（2）ax 足够用于实际支付年金的概率。
vk k px
km
..
..
a x:mn a x:m
..
m E x .axm:n
例：某人为其14岁的子女投保了一定期生命年金，这一保险可以 使该儿童在18岁到21岁间，每年初获得4000元作为大学学费（年 利率i=0.06),以附表计算该年金的现值。
解:这是延期4年又定期3年的生命年金
..
40004| a14:3
解:
ax
0
t
px v t dt
t px
t fT (t )dt
0.015e 0.015t dt
t
e0.015t
ax
e0.015t .e0.05t dt
0
e 0.065t dt
0
e 0.065t 0.065
|0 15.38
P(a x
aT )
1 vT P(
15.38)
P(vT 0.231)
离散生存年金定义：
在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次 年金的保险。
离散生存年金与连续生存年金的关系
计算精算现值时理论基础完全相同 连续－积分离散－求和 连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、延付要分别考虑
离散生存年金的分类
期初年金/期末年金 终身年金/定期年金 延期年金/非延期年金
0.05
P(e0.05T 0.231) P(T 29.31) 29.31 0.015e0.015tdt 0
0.3557
二、n年定期生存年金
ax:n
n 0
t
px v t dt
例2：已知x
1 ,计算当 -x
100,
0.05, x
30时，
30年定期生存年金的精算现值
解: a30:30
一、期初付年金及其精算现值
终身生存年金－每个保单年度初给付1元，直到年金受领人死亡。
..
a x v k .k px
k0
..
Var( a x
)
2 Ax
( Ax d2
)2
例
已知 i 0.05
x 90 91 92 93
l x 100 72 39 0 d x 28 33 39 －
..
假定91岁存活给付5，92岁存活给付10，求：a 90
k0
10000( 1 v . p55 v 2 2 p55 v 3 3 p55 v 4 4 p55 )
10000( 1 v l56 v 2 l57 v 3 l58 v 4 l59 )
l55
l55
l55
l55
10000( 1 v l56 v 2 l57 v 3 l58 v 4 l59 )
第5章 年金精算现值
第一节 生存年金的概念和种类
一、生存年金的定义：
以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月） 支付一次保险金的保险类型
二、生存年金的分类：
1、按交保险费的方法分类：趸缴年金和年缴年金 2、按被保险人数分类：个人年金和联合年金 3、按给付年金的额度分类：定额年金和变额年金 4、按给付开始的日期分类：即付年金和延付年金 5、按给付期间分类：终身年金、期间保证年金、定期年金
（ a
t
.t
px）
｜ 0
0 t px .(at )dt
0
t
px .(at )dt
0t
px .(
t v sds)dt
0
ax
0
t
px v t dt
例1：在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下，求 a x
解:
ax
0
t
px v t dt
0
t
e t .e0xsdsdt
30380.05
Ax:n 1 ax:n
2000 a 35:20
2000 1
A35:20
2000
1
(
A1 35: 20
i
A1 35:20
)
2000 1 ( D55 i M 35 M55 ) D35 D35
23258.59
n| a x
Ax:n Ax
200010| a 35
2000
.n
px( a xn
a2 xn
)
(
n| a x
)2
－
－
－
－
例1：设 ax
10, 2 a x
7.375,Var( a T
) 50,求：（1）（2）Ax
解:
VarY
2 Ax ( Ax 2
)2
Q Ax
0
vt
fT
t
dt
2 Ax
0
v2t
fT
t
dt
v2t (
0
tq x
) dt
A35:30
12465.84
五、年金的精算累积值
以连续方式每年给付金额为1元的n年定期生存年金的精算累积值
1
s x:n a x:n n E x
1
a x:n v n .n px
( 1 i )n
lx
a x:n
lxn
l xn s x:n ( 1 i )n l x a x:n
第三节 离散型年金
解: Ax 1 a x
2000 a 35
2000 1 A35
2000
1
(
1
i
A35
)
2000 1 ( 1 0.06 M35 ) ln( 1.06 ) ln( 1.06 ) D35
2000
1
(1
0.06
14116.1223 )
ln( 1.06 ) ln( 1.06 ) 126513.78
6
v k k p14
k4
4000( v 4 .4 p14 v 5 5 p14 v 6 6 p14 )
4000( v 4 l18 v 5 l19 v 6 l20 )
l14
l14
l14
二、期初付年金精算现值与趸缴纯保费间的关系
假设K为x岁的人的未来的取整余命的随机变量，Y为年金给付的
现值的随机变量。
l55
l55
l55
l55
44005
延期终身生存年金－每个保单年度初给付1元的延期n年的终身生
存年金。
..
n a x v k k px
kn
..
..
a x a x:n
..
nEx .axn
延期终身生存年金－每个保单年度初给付1元的延期m年的n年定 期生存年金。
..
n m 1
a m| x:n
..
解: a x v k .k px
k0
..
2
a 90
vk
k 1
.k
p90
5v . p90
10v 2 .2
p90
5 1 1 0.05
l91 l90
10
(1
1 0.05 )2
. l92 l90
6.97
定期生存年金－每个保单年度初给付1元的n年定期生存年金。